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Non ci tratterremo sui relativi sviluppi analitici perchè nulla si aggiungerebbe per illuminare il metodo. Notiamo piuttosto che i risultati di Taurinus confermano la previsione di Lambert circa la sua terza ipotesi [cfr. § 20], imperocchè le formule della geometria log.-sferica, analiticamente interpretate, danno le relazioni fondamentali fra gli elementi d'un triangolo tracciato sopra una sfera di raggio immaginario1.
Aggiungeremo che Taurinus riconobbe, come Lambert, che la geometria sferica corrisponde pienamente al sistema valido nell'ip. ang. ottuso; inoltre che l'ordinaria geometria forma un anello di congiunzione fra la geometria sferica e la geometria log.-sferica.
Infatti, se il raggio k varia con continuità dal campo reale al campo puramente immaginario, attraverso l'infinito, si passa dal sistema sferico al sistema log.-sferico, attraverso quello d' Euclide.
Benchè Taurinus, come già si disse, escluda la possibilità d'una geometria log.-sferica valida sul piano, non disconosce l'interesse teorico ch'essa può offrire, e, richiamando sulle sue formule l'attenzione dei geometri, sembra
- ↑ A questo punto conviene notare che Lambert, contemporaneamente alle ricerche sulle parallele, si è occupato delle funzioni trigonometriche con argomento immaginario, il cui legame con la geometria non-euclidea è messo in evidenza da Taurinus. Potrebbe darsi che Lambert avesse riconosciuto che le formule della trigonometria sferica conservano una forma reale anche mutando in esse il raggio reale nel raggio immaginario puro. Con ciò la previsione di Lambert, relativa all'ip. ang. acuto [cfr. § 21], avrebbe un fondamento indiscutibile. Nulla però ci autorizza a credere che Lambert abbia effettivamente riavvicinato le sue ricerche sulle funzioni trigonometriche alla teoria delle parallele — cfr. P. Stäckel: «Bemerkungen zu Lamberts Theorie der Parallellinien.» — Bibliotheca Math, p. 107-110 [1899].
