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Questa è la formula fondamentale della geometria logaritmico-sferica [«logarithmisch-sphärischen Geometrie»] di Taurinus.
È facile dimostrare che nella geometria log.-sferica la
[vedi formula 69_a.png] Notando poi che le funzioni circolari sen x, cos x, tg x ...., sono suscettibili anch'esse d'una definizione analitica, e precisamente che: [vedi formula 69_b.png] è facile vedere che le funzioni circolari e le funzioni iperboliche sono legate dalle seguenti relazioni: (III) i Sh x = sen (ix) ; i Th x = tg (ix) Ch x = cos (ix) ; – i Cth x = ctg (ix). Queste ultime permettono di trasformare le formule fondamentali della goniometria, nelle corrispondenti formule per le funzioni iperboliche. Le quali sono le seguenti: (IV) Ch2 x – Sh2 x = 1 Sh (x ± y) = Sh x Ch y ± Sh y Ch x Ch (x ± y) = Ch x Ch y ± Sh x Sh y
