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rigetto dell'ip. ang. ottuso e ricerche simili a quelle di Saccheri e Lambert, nell'ip. ang. acuto. Ritrovò così la costante di Schweikart, che chiamò parametro, e, incapace di rappresentarsi lo spazio come un concetto suscettibile di varie determinazioni, concluse che dovrebbero contemporaneamente valere tutti i sistemi corrispondenti agli infiniti valori assegnati al parametro. Questo modo di interpretare il significato del parametro condusse Taurinus a rigettare anche l'ip. ang. acuto, pur riconoscendo la compatibilità logica delle proposizioni che da essa conseguono.
Nell'anno successivo Taurinus pubblicò i suoi «Geometriae prima elementa.» [Colonia, 1826] ove riespose migliorate le ricerche del 1825. Lo scritto è poi chiuso da una importantissima appendice, in cui l'autore mostra come si possa effettivamente costruire un sistema geometrico [analitico] corrispondente all'ip. ang. acuto1.
Allo scopo Taurinus parte dalla formula fondamentale della trigonometria sferica:
[vedi formula 68.png]
e vi muta il raggio reale k nel raggio immaginario ik [dove i = radice di (-1)]. La formula ottenuta da Taurinus può scriversi, mediante l'uso delle funzioni iperboliche2, nella seguente forma:
[vedi formula 68_b.png]
