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dell'ipotesi sopra enunciata, si conduca per A' una trasversale che incontri in B1 e C1 i lati dell'angolo A. La deficienza del triangolo AB1C1, come facilmente si verifica, è la somma delle deficienze dei quattro triangoli che lo compongono [cfr. anche Lambert, p. 40], quindi maggiore di 2 alfa. Ripetendo, a partire dal triangolo AB1C1, la precedente costruzione, si otterrà un nuovo triangolo, di deficienza maggiore di 4 alfa. Dopo n operazioni di tale natura si sarà costruito un triangolo di deficienza maggiore di 2n alfa. Ma, per n abbastanza grande, è 2n alfa > 2 retti [post. Archimede], il che è assurdo. Segue: alfa = 0, quindi: A + B + C = 2 retti.
Questa dimostrazione è appoggiata sul postulato di Archimede. Ecco come si potrebbe evitare l'uso di tale postulato. Siano AB ed HK una obliqua ed una perpendicolare ad AH. 
Si costruisca la retta AB', simmetrica di AB rispetto ad AH. Pel punto H, in forza dell'ipotesi di Legendre, passa una retta r che incontra i due lati dell'angolo BAB'. Se questa retta è diversa dalla HK anche la sua simmetrica r', rispetto ad AH, gode della medesima proprietà e conseguentemente anche la HK. Dunque, una perpendicolare ed un'obliqua alla retta AH s'incontrano sempre. Da questo risultato segue la teoria ordinaria delle parallele, quindi A + B + C = 2 retti.
