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Ma questa disuguaglianza, per n abbastanza grande, contraddice il postulato di Archimede, perciò non può essere A1A2, > B1B2, e conseguentemente è assurdo supporre beta > alfa. Segue beta uguale/minore alfa, da cui si ricava subito che la somma dei tre angoli del triangolo A1B1A2 è minore od uguale a due angoli retti.
Questo teorema suole impropriamente chiamarsi 1° teorema di Legendre. Diciamo impropriamente perchè Saccheri, dimostrando falsa l'ip. ang. ottuso, aveva già stabilito, quasi un secolo prima, questo teorema [cfr. p. 34].
Il così detto 2° teorema di Legendre, dato anch'esso da Saccheri e sotto forma più generale [cfr. § 13], è il seguente:
«Se in un solo triangolo la somma degli angoli è minore od uguale a due angoli retti, è rispettivamente minore od uguale a due angoli retti in ciascun altro triangolo.».
Non riportiamo la dimostrazione di questo teorema perchè non sostanzialmente diversa da quella di Saccheri.
Ecco piuttosto come Legendre dimostra che la somma dei tre angoli d'un triangolo è uguale 
a due angoli retti.
Nel triangolo ABC suppongasi A + B + C < 2 retti. Fissato il punto D sul lato AB, si tracci la trasversale DE in modo che l'angolo ADE sia uguale all'angolo B. Nel quadrilatero DBCE la somma degli angoli è minore di quattro retti, onde AED > ACB. L'angolo in E del triangolo ADE è dunque una ben determinata funzione [decrescente] del lato AD, o, ciò che fa lo stesso, la lunghezza del lato AD è pienamente determinata quando si conosca la misura [in angoli retti] dell'angolo E e dei due angoli fissi, A, B. Ma questo risultato, secondo Legendre, è assurdo, perchè la lunghezza d'un segmento non ha significato
