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Ma, per n abbastanza grande, il secondo membro della disuguaglianza è grande quanto si vuole [post. Archimede)1, mentre il primo membro è sempre minore di BA. Questa contraddizione permette a Lambert di dichiarare falsa la seconda ipotesi.
Per trattare la terza ipotesi Lambert si giova ancora della precedente figura, sulla quale dimostra che i segmenti BA, B1A1, B2A2.... BnAn vanno crescendo e che in pari tempo crescono le differenze fra ciascuno di essi e il precedente. Questo risultato però non lo conduce a contraddizioni, percui, come già Saccheri, è costretto a proseguire nelle deduzioni. Allora, nella terza ipotesi, trova che la somma degli angoli di un triangolo è minore di due angoli retti, e, oltrepassando Saccheri, scopre che la deficienza d'un poligono, cioè la differenza fra 2 (n - 2) angoli retti e la somma degli angoli d'un poligono, è proporzionale all'area dello stesso poligono. Questo risultato si ottiene più facilmente osservando che tanto l'area, quanto la deficienza d'un poligono somma di più altri, sono rispettivamente la somma delle aree e delle deficienze dei poligoni che lo compongono2.
§ 20. Un'altra notevole scoperta di Lambert si riferisce alla misura delle grandezze geometriche. Essa consiste precisamente in ciò che, mentre nella geometria ordinaria, alla misura dei segmenti compete soltanto un significato relativo
- ↑ Il postulato d'Archimede anche qui è usato sotto tale forma da includere l'infinità della retta [Cfr. Saccheri, nota a p. 32].
- ↑ Conviene notare che Saccheri aveva già riscontrato, nell'ip. ang. acuto, la deficienza di cui si parla, ed anche implicitamente notato che un quadrilatero somma di più altri ha per deficienza la somma delle deficienze [prop. XXV]. Tuttavia non ne aveva tratto alcuna conseguenza circa la proporzionalità fra l'area e la deficienza.
