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Una facile estensione di questo lemma è la seguente proposizione: 
Se sul primo lato d'un angolo di vertice A si prendono consecutivamente i segmenti uguali AA1, A1A2, A2A3.... e si costruiscono le rispettive proiezioni AA'1, A'1A'2, A'2A'3... sul secondo lato dell'angolo, valgono le seguenti relazioni.
AA'1, = A'1A'2, = A'2A'3 = ...., nell' ip. ang. retto; AA'1, < A'1A'2, < A'2A'3 < ...., nell' ip. ang. ottuso; AA'1, > A'1A'2, > A'2A'3 > ...., nell' ip. ang. acuto.
Ommettiamo per brevità la facile dimostrazione.
Vediamo piuttosto quali importanti conseguenze possono dedursi da questa proposizione nell' ip. ang. retto e nell' ip. ang. ottuso.
Siano AC e BD due rette, la prima obliqua, la seconda perpendicolare alla retta AB. 
Su AC, dalla banda dell'angolo acuto CAB e della perpendicolare BD, si prenda il segmento arbitrario AA1, e se ne ne costruisca la proiezione AA'1, su AB. Si fissi poi un numero n abbastanza grande, tale che l'ennesimo multiplo di AA'1, sia maggiore di AB; poi su AC, dalla banda di A1, si costruisca il segmento AAn, multiplo di AA1 secondo il numero n1. Calata poi da An la perpendicolare AnA'n su AB, avremo:
AA'n = (AA'1) . n > AB, nell' ip. ang. retto; AA'n > (AA'1) . n > AB, nell' ip. ang. ottuso.
- ↑ Il postulato di ARCHIMEDE, di cui quì si fa uso, comparisce in una tale forma da includere implicitamente l'infinità della retta.
