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Il teorema si dimostra subito per assurdo.

§ 13. Da questi ultimi teoremi Saccheri ricava facilmente una importante conseguenza, relativa ai triangoli. A seconda che si trova verificata l’ipotesi dell’angolo retto, l’ipotesi dell’angolo ottuso, l’ipotesi dell’angolo acuto, la somma degli angoli d’un triangolo è rispettivamente uguale, maggiore, minore di due angoli retti [prop. IX].

Sia ABC un triangolo rettangolo in B. Si completi il quadrilatero tracciando AD uguale a BC e perpendicolare ad AB, indi congiungendo D con C.

Nell’ip. ang. retto i due triangoli ABC, ACD sono uguali, per cui: ${\widehat {BAC}}={\widehat {DCA}}$. Segue immediatamente, nel triangolo ABC:

${\widehat {A}}+{\widehat {B}}+{\widehat {C}}=2{\widehat {retti}}$.

Nell’ip. ang. ottuso, essendo AB > DC, sarà: ACB > DAC¹, per cui nel triangolo in discorso avremo:

${\widehat {A}}+{\widehat {B}}+{\widehat {C}}>2{\widehat {retti}}$.

Nell’ip. ang. acuto, essendo AB < DC, segue: ${\widehat {ACB}}<{\widehat {DAC}}$, quindi, nel solito triangolo:

${\widehat {A}}+{\widehat {B}}+{\widehat {C}}<2{\widehat {retti}}$.

Il teorema dimostrato, che si estende facilmente ad un triangolo qualunque, con la decomposizione della figura in due triangoli rettangoli, viene invertito da SACCHERI nella prop. XV, mediante un ragionamento per assurdo.

Una facile conseguenza di questi risultati è il seguente teorema:

Se in un solo triangolo la somma degli angoli è uguale, maggiore, minore di due angoli retti, in ogni altro trian-

1. Questa disuguaglianza vien dimostrata da Saccheri nella sua VIII proposizione e serve di lemma alla prop. IX. Abbiamo ommessa la facile dimostrazione, perchè essa si trova spessissimo nei testi elementari, avanti la teoria delle parallele.