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una connessione diversa da quella del piano euclideo, consideriamo l'ordinario cilindro.
La differenza fra la geometria piana e quella cilindrica, intese l'una e l'altra in senso integrale, fu già rilevata [§ 70] osservando che il postulato della congruenza fra due rette arbitrarie cessa di essere vero sul cilindro. Non di meno esistono numerose proprietà comuni alle due geometrie, traenti origine dal duplice carattere di avere tanto il piano quanto il cilindro la stessa curvatura e di essere entrambi regolari.
Queste proprietà possono riassumersi dicendo:
1) la geometria d'una regione normale di cilindro è identica alla geometria d'una regione normale di piano;
2) la geometria d'una qualsiasi regione normale di cilindro, fissata intorno ad un punto arbitrario di esso, è identica alla geometria d'una qualsiasi regione normale di piano.
L'importanza di un raffronto fra la geometria del piano e quella d'una superficie, fondato sulle proprietà 1) e 2), emerge dalle seguenti considerazioni.
Una geometria del piano, edificata con criteri sperimentali, dipende da due gruppi distinti di ipotesi. Il primo gruppo esprime la validità di certi fatti, direttamente osservati in un interno accessibile alle esperienze [postulati della regione normale]; il secondo gruppo estende a regioni inaccessibili alcune proprietà della regione iniziale [postulati d'estensione].
I postulati d'estensione potrebbero richiedere, ad es., che sull'intero piano fossero valide le proprietà della regione accessibile: saremmo allora condotti alle due forme di piano parabolica ed iperbolica; se invece i detti postulati richiedessero l'estensione delle proprietà in discorso, con eventuale riserva per quella che attribuisce alla retta i caratteri della linea aperta, insieme ai due piani indicati, dovremmo annoverare anche il piano ellittico.
