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come relazioni grafiche di esse rispetto a questi enti. Sul piano di Lobacefski-Bolyai l'ente metrico fondamentale è la conica limite che separa la regione dei punti propri da quella dei punti impropri; sul piano di RIEMANN è una conica immaginaria, definita dalla polarità assoluta del piano [cfr. § 71 – punto c seconda colonna].
Tanto nell'uno quanto nell'altro caso le proprietà metriche delle figure sono tutte le proprietà grafiche che rimangono inalterate nelle trasformazioni proiettive1 che lasciano fisso l'assoluto.
Queste trasformazioni proiettive costituiscono poi gli infinito3 movimenti del piano non-euclideo.
Nel caso euclideo le nominate trasformazioni [che non alterano l'assoluto] sono le infinito4 similitudini, fra cui, in particolare, si trovano gli infinito3 movimenti.
Nello spazio la subordinazione della metrica alla proiettiva si fa per mezzo della quadrica limite [assoluto dello spazio]. Se questa è reale si ottiene la geometria di Lobacefski-Bolyai, se è immaginaria si ottiene quella di RIEMANN, tipo ellittico.
Le proprietà metriche delle figure sono dunque le proprietà grafiche dello spazio in relazione al suo assoluto, cioè le proprietà grafiche che rimangono inalterate in tutte le trasformazioni proiettive che lasciano fisso l'assoluto dello spazio.
§ 81. Come si esprimono, rispetto all'assoluto, i concetti di distanza e di angolo?
Introdotto sul piano proiettivo un sistema qualunque di coordinate omogenee (x1, x2, x3), che permetta di rappresentare
- ↑ È noto che per trasformazioni proiettive s'intendono quelle trasformazioni che fanno corrispondere ad un punto un punto, ad una retta una retta, a punto e retta che si appartengono punto e retta che si appartengono.
