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determinata quando si conosca la distanza elementare [ds] di due punti infinitamente vicini, di coordinate:
x1, x2, x3, x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3.
RIEMANN parte da ipotesi assai generali, che vengono soddisfatte, nel modo più semplice, assumendo come espressione del quadrato della distanza elementare [ds2] una forma quadratica, sempre positiva, nei differenziali delle variabili:
[vedi formula 142_a.png]
nella quale le aij sono funzioni di x1, x2, x3.
Ammettendo ora il principio della sovrapponibilità delle figure, si dimostra che le funzioni aij debbono essere di tale natura da permettere, in seguito ad un opportuno mutamento del sistema di coordinate, che il ds2 assuma la forma:
[vedi formula 142_b.png]
nella quale la costante K è ciò che RIEMANN, per estensione del concetto gaussiano, denomina convenzionalmente curvatura dello spazio.
A seconda poi che K è maggiore, uguale, minore di zero abbiamo lo spazio a curvatura costante positiva, lo spazio a curvatura nulla, lo spazio a curvatura costante negativa.
Facciamo un passo ulteriore ammettendo di estendere allo spazio completo il principio di sovrapponibilità [movimenti] e il postulato per cui la retta è determinata, senza eccezione, da due punti: si trovano allora tre forme spaziali, cioè tre geometrie logicamente possibili e conciliabili coi dati da cui siamo partiti.
La prima di tali geometrie, rispondente alla curvatura positiva, è caratterizzata dal fatto che in ogni piano vale il
