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La sola superficie regolare, analitica, chiusa a curvatura costante positiva è la sfera [Teorema di LIEBMANN1]. Ma sulla sfera, nelle cui regioni normali è valida la geometria di RIEMANN, due rette s'incontrano sempre in due punti [opposti]. Concluderemo pertanto:
Nello spazio ordinario non esistono superficie che verifichino integralmente tutte le proprietà dei piani non-euclidei.
§. 74. A questo punto conviene osservare che la sfera, fra tutte le superficie di curvatura costante non nulla, è dotata d'un carattere che l'avvicina più delle altre al piano. Infatti la sfera può muoversi su stessa allo stesso modo del piano, di guisa che le proprietà della congruenza valgono non solo per regioni normali ma, come sul piano, per l'intera superficie sferica abbracciata d'uno sguardo.
Questo fatto ci suggerisce un modo di enunciare i postulati della geometria, che non escluda a priori la possibile esistenza di un piano con tutti i caratteri della sfera, compreso quello dei punti opposti. Si potrebbe infatti richiedere che sul piano fossero validi:
1°) i postulati b), c) [cfr. § 70], in ogni regione normale;
2°) i postulati della congruenza sull'intero piano.
Si troverebbero allora i sistemi geometrici di Euclide, di Lobacefski-Bolyai, di RIEMANN [tipo ellittico], precedentemente incontrati, in cui due rette hanno solo un punto comune;
- ↑ «Eine neue Eigensehaft der Kugel.», Gött. Nachricten, 1899, p. 44-54. — A p. 172-75 dei «Grundlagen der Geometrie.» di HILBERT è pure dimostrata questa proprietà. Notiamo che le superficie di curvatura costante positiva sono necessariamente analitiche. Vedi in proposito la citata dissertazione di LÜTKEMEYER, [ nota 140] e la memoria di HOLMGREN: «Über eine Klasse von partielle Differentialgleichungen der Zweiten Ordnung.», Math. Ann., t. LVII, p. 407-20 [1903].
