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§ 72. Una notevole osservazione intorno all'ip. ang. ottuso fu fatta recentemente da DEHN.
Riferendoci ai ragionamenti di Saccheri [§ 15], Lambert [§ 19], Legendre [§ 27], si scorge facilmente che questi autori, per dimostrare la falsità dell'ip. ang. ottuso, si giovarono non solo dell'ipotesi della retta infinita, ma anche dell'ipotesi archimedea. Ora ci possiamo chiedere se quest'ultima sia realmente necessaria per stabilire il risultato. In altre parole possiamo chiederci se, escludendo il postulato di Archimede, le due ipotesi che attribuiscono l'una alla retta i caratteri delle linee aperte, l'altra alla somma degli angoli di un triangolo un valore maggiore di 180° siano compatibili fra loro. A una tale domanda rispose DEHN, con la memoria citata a § 14 [nota 30], costruendo una geometria non-archimedea, in cui la retta è aperta ed i triangoli verificano la 2a ipotesi saccheriana. Sicchè, la seconda delle tre ipotesi di Saccheri è compatibile con l'ipotesi della retta aperta, nel seno d'un sistema non-archimedeo. La nuova geometria fu chiamata da DEHN «Nicht-Legendre' sche Geometrie».
§ 73. Sebbene, come abbiamo detto, la geometria di una superficie a curvatura costante [positiva o negativa] non rispecchi in generale la intera geometria non-euclidea del piano di {{Sc|
