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2°) Un nuovo sistema [detto di RIEMANN], che corrisponde all'ip. ang. ottuso di Saccheri, in cui non esistono parallele.

In quest'ultimo sistema la retta è una linea chiusa, di lunghezza finita: si evita perciò la contraddizione cui si andrebbe incontro supponendo la retta aperta [infinita], ipotesi di cui si fa uso per stabilire il teorema dell'angolo esterno di Euclide ed alcuni risultati di Saccheri.

§ 71. Il primo a notare l'esistenza di un sistema geometrico compatibile con l'ip. ang. ottuso fu RIEMANN, perchè egli fu il primo a sostituire l'ipotesi della retta infinita, con l'altra più generale della retta illimitata. La distinzione che quì si presenta tra infinito ed illimitato è di fondamentale importanza. Riportiamo, a tale proposito, le parole di RIEMANN. «Quando si estendono le costruzioni dello spazio all'infinitamente grande bisogna fare distinzione fra l'illimitato e l'infinito: il primo appartiene ai rapporti d'estensione, il secondo ai rapporti metrici. Che lo spazio sia una varietà illimitata a tre dimensioni è una ipotesi che si applica in tutte le concezioni relative al mondo esterno, che ci serve per completare in ogni momento il campo delle nostre percezioni effettive ed a costruire i luoghi possibili degli oggetti cercati e che si trova costantemente verificata in tutte queste applicazioni. La proprietà dello spazio di essere illimitato possiede dunque una certezza empirica che nessun altro dato empirico possiede. Ma l'infinità dello spazio non ne segue in alcun modo; al contrario, se si suppongono i corpi indipendenti dalla loro posizione e si attribuisce allo spazio una curvatura costante, lo spazio sarebbe necessariamente finito non appena questa misura della curvatura avesse un valore positivo, comunque piccolo¹.».

1. Cfr. la «Dissertazione» di RIEMANN, parte III, § 2.