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limitate. Se ci si pone invece dal punto di vista [integrale] secondo cui si confrontano la geometria dell'intiero piano e la geometria sopra la superficie, il riscontro non sussiste piú. Già infatti, sotto questo aspetto, non può dirsi nemmeno che sopra due superficie con una medesima curvatura costante valga la medesima geometria. Per es., il cilindro circolare ha una curvatura nulla ed una regione di esso può svilupparsi sopra una regione di piano, ma l'intero cilindro non è applicabile in tal modo sopra l'intero piano. La geometria integrale sul cilindro differisce perciò da quella dell'intero piano euclideo. Infatti, vi sono sul cilindro delle geodetiche chiuse [sezioni circolari] e generalmente due geodetiche di esso [eliche] s'incontrano in un numero infinito di punti, anzichè in due.
Differenze analoghe intercederanno in generale fra una delle geometrie metriche non-euclidee che potrebbe fondarsi sulla base dei postulati sopra enunciati e la geometria d'una corrispondente superficie a curvatura costante.
Quando tentiamo di abbracciare in senso integrale la geometria sopra una superficie a curvatura costante [p. es. sulla sfera o sulla pseudosfera] vediamo in generale che la proprietà fondamentale di una regione normale, relativa alla determinazione della geodetica passante per due punti, cessa di valere. Questo fatto non è però una conseguenza necessaria delle ipotesi su cui si basa, nel senso anzidetto, una metrica non-euclidea generale del piano. Infatti, quando si domandi se è logicamente possibile un sistema di geometria piana soddisfacente alle condizioni a) b) c) e tale che i postulati della congruenza e quello di determinazione della retta valgano nel piano completo, si ottengono, oltre l'ordinario sistema euclideo, i due sistemi geometrici seguenti:
1°) Il sistema di Lobacefski- Bolyai, già innanzi incontrato, in cui per un punto passano due parallele ad una retta.
