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essere $\alpha +\beta <2\,{\widehat {retti}}$, quindi sarà $\alpha +\beta =2\,{\widehat {retti}}$ [Proclo, pag. 365].

Da questo risultato si trae facilmente il postulato euclideo.

§ 3. Proclo [pag. 371], dopo aver criticato il ragionamento di Tolomeo, tenta raggiungere lo stesso scopo per altra via. La dimostrazione di Proclo riposa sulla seguente proposizione, che egli assume come evidente. La distanza fra due punti situati su due rette che si tagliano può rendersi grande quanto si vuole, prolungando sufficientemente le due rette¹. Da questa deduce il lemma:

Una retta che incontra una di due parallele incontra necessariamente anche l’altra.

Ecco la dimostrazione del lemma data da Proclo. Siano AB, CD due parallele ed EG una trasversale, incidente in F alla prima. La distanza di un punto variabile sul raggio FG dalla retta AB cresce oltre ogni limite quando il punto si allontana indefinitamente da F; e poichè la distanza di due parallele è finita, la retta EG dovrà necessariamente incontrare CD.

Proclo introdusse dunque l’ipotesi che la distanza di due parallele si mantenga finita, ipotesi da cui logicamente si deduce quella d’Euclide.

1. Questa proposizione, assunta come evidente, è da Proclo appoggiata coll’autorità di Aristotile: cfr. «De Coelo, I, 5». Una rigorosa dimostrazione della prop. in discorso fu data dal Padre G. Saccheri, nell’opera citata a p. 20.