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3°) Volume del tetraedro in geometria non euclidea.
Per quanto riguarda il primo di questi problemi, Bolyai, oltre rendersi conto della relazione analitica che lega le due trigonometrie [cfr. Lobacefski, § 41], riconobbe che nell'ipotesi non euclidea esistono tre tipi di superficie uniformi(99), su cui valgono rispettivamente la trigonometria non-euclidea, la trigonometria ordinaria, la trigonometria sferica. Sono del primo tipo le superficie piane ed ipersferiche [equidistanti da un piano], del secondo tipo le parasferiche [orisfere di Lobacefski], del terzo tipo le sfere. Dalle superficie ipersferiche si passa alle sferiche attraverso il caso limite delle parasfere. Questo passaggio si realizza analiticamente facendo variare con continuità, dal campo reale al campo immaginario puro, attraverso l'infinito, un certo parametro che comparisce nelle formule [cfr. Taurinus, p. 73].
Il secondo problema, quello relativo all'indimostrabilità dell'assioma XI, Bolyai non riuscì a risolverlo, nè a formarsi una esatta convinzione intorno ad esso. Per un certo tempo credè che non si potesse in alcun modo decidere quale, fra il caso euclideo e quello non euclideo, fosse il vero, appoggiandosi, come già Lobacefski, al valore analitico della nuova trigonometria. Poi si verificò in GIOVANNI un ritorno alle antiche idee, seguito da un nuovo tentativo per dimostrare l'assioma XI. In questo tentativo applica le formule non-euclidee ad un sistema di cinque punti completamente indipendenti. Fra le distanze di questi punti intercede necessariamente una relazione: ora, per un errore di calcolo, GIOVANNI non trovò questa relazione e per un certo tempo credè aver così dimostrata la falsità
