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Dato z = A'AD [Fig. 45] si costruisce poi r tracciando: 1°) la retta AC perpendicolare ad AD; 2°) la retta BB' parallela ad AA' e perpendicolare ad AC [§ 51]; 3°) la bisettrice della striscia compresa fra AA', BB' [a mezzo del teorema sul punto d'incontro delle bisettrici in un triangolo con un vertice improprio]; 4°) la perpendicolare AB a questa bisettrice: il segmento AB, compreso fra AA' e BB', è il raggio r.
§ 54. Il problema di costruire poi un poligono equivalente ad un cerchio di area pi greco k2tg2z è, come nota Bolyai, legato intimamente al valore numerico di tg2z. Esso è risolubile per ogni valore intero di tg2z e per ogni valore frazionario, quando però il denominatore della frazione ridotta ai minimi termini cada sotto la forma assegnata da Gauss per l'iscrizione dei poligoni regolari [Appendix, § 43].
La possibilità di costruire un quadrato equivalente ad un cerchio conduce GIOVANNI a concludere: «habeturque aut Axioma XI. Euelidis verum, aut quadratura circuli geometrica; etsi hucusque indecisum manserit, quodnam ex his duobus revera locum habeat.».
L'indecisione così formulata gli parve in quell'epoca [1831] irresolubile imperocchè chiuse il suo scritto con queste parole: «Superesset denique, (ut res omni numero absolvatur), impossibilitatem (absque suppositione aliqua) decidendi, num sigma [sistema euclideo] aut aliquod (et quodnam) S [sistema non euclideo ] sit, demonstrare: quod tamen occasioni magis idoneae reservatur.».
GIOVANNI però non pubblicò mai sifatta dimostrazione.
§ 55. Dopo il 1831 Bolyai si occupò ancora della sua geometria ed in particolare dei seguenti problemi
1°) Connessione fra la trigonometria sferica e la trigometria non-euclidea.
2°) Si può rigorosamente dimostrare che l'assioma euclideo non è una conseguenza dei precedenti?
