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§ 50. Appartiene pure alla geometria assoluta la seguente costruzione di una parallela per il punto D alla retta AN [Appendix, § 34].
Tracciate le rette DB ed AE perpendicolarmente ad AN, si cali da D la perpendicolare DE alla retta AE. 
L'angolo EDB del quadrilatero trirettangolo ABDE è retto od acuto, per cui ED è uguale o maggiore ad AB. Con centro A si descriva una circonferenza di raggio ED: essa intersecherà il segmento DB in un punto O, coincidente con B ovvero compreso fra B e D. La retta AO forma con DB un angolo AOB uguale all'angolo di parallelismo corrispondente al segmento BD1 [Appendix, § 27]. Si costruirà dunque per D
- ↑ Ecco rapidamente come Bolyai dimostra questa proposizione. Le circonferenze AB, ED, generate dai punti B, D nella loro rotazione intorno alla retta AE, possono considerarsi come appartenenti la prima al piano perpendicolare in A all'asse AE, la seconda ad una superficie equidistante da questo piano. L'equidistanza fra superficie e piano è data dal segmento d = BD. Il rapporto fra le due circonferenze in discorso risulta perciò funzione soltanto di d. Questo rapporto può anche esprimersi ricorrendo al teorema di Bolyai [§ 49], il quale, applicato ai due triangoli rettangoli ADE, ADB, conduce alla relazione: [vedi formula 95.png]
