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Il teorema di Bolyai si esprime poi brevemente così:
(1) [vedi formula 94_a.png].
Se ora volessimo specializzare il sistema geometrico, avremmo:
1°) nell'ip. euclidea:
[vedi formula 94_b.png]
e sostituendo in (1):
(1') a : b : c = sen alfa : sen beta : sen gamma
2°) nell' ip. non-euclidea [cfr. § 34]:
[vedi formula 94_c.png]
ed operando come sopra:
(1") Sh a/k : Sh b/k : Sh c/k = sen alfa : sen beta : sen gamma,
Quest'ultima relazione può riguardarsi come il teorema dei seni della geometria di Lobacefski-Bolyai.
Dalle (1), con procedimenti analoghi agli ordinari basati sulle (1'), Bolyai deduce la proporzionalità fra i seni degli angoli e i seni dei lati in un triangolo sferico. Da ciò risulta l'indipendenza della trigonometria sferica, dal postulato d'Euclide [Appendix, § 26]. Questo fatto mette ancor più in rilievo l'importanza del teorema di Bolyai.
