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Benchè Lobacefski abbia dato un maggiore sviluppo alla geometria immaginaria, specialmente al suo contenuto analitico, Bolyai ha trattato più profondamente la questione della dipendenza o meno delle proposizioni geometriche dal postulato euclideo. Dove Lobacefski mira principalmente a costruire un sistema geometrico sulla negazione del postulato in discorso, GIOVANNI Bolyai mette in evidenza le proposizioni e costruzioni che nell'ordinaria geometria non dipendono da quel postulato. Sifatte proposizioni, ch'egli chiama assolutamente vere, appartengono alla scienza assoluta dello spazio. La ricerca delle proposizioni di questa scienza potrebbe effettuarsi confrontando la geometria di Euclide con quella di Lobacefski. Tutto ciò che hanno di comune le due geometrie, ad es. le formule della trigonometria sferica, appartiene alla geometria assoluta. GIOVANNI Bolyai però non segue questa via: egli dimostra direttamente, cioè indipendentemente dal postulato euclideo, le sue proposizioni assolutamente vere.
§ 49. Un teorema assoluto di Bolyai, meraviglioso per semplicità ed eleganza, è il seguente:
In un triangolo rettilineo le circonferenze di raggio uguale ai 
lati stanno fra loro come i seni degli angoli opposti.
Sia ABC un triangolo rettangolo in C, e BB' la perpendicolare in B al piano del triangolo. Pei vertici A, C si traccino le rette AA', CC', parallele in un determinato verso a BB',
