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| 70 | GLI ELEMENTI D’EUCLIDE. |
PROPOSIZIONE IX.
teorema.
Se una linea retta sia segata in parti eguali, ed in parti disuguali, la somma dei quadrati costruiti sulle parti disuguali è doppia della somma del quadrato della metà e del quadrato della linea che è fra i due punti di divisione.
Sia la linea retta AB segata in parti uguali nel punto C, ed in parti disuguali in D. Dico che la somma dei quadrati di AD, DB è doppia della somma dei quadrati di AC, CD.
Tirisi dal punto C la CE ad angoli retti sopra la AB, e pongasi uguale alle AC, CB, e si conducano EA, EB. Poi per D tirisi la DF parallela alla CE, e per FA tirisi la FG parallela alla AB, e conducasi AF. Poiché la AC è uguale alla CE, sarà l’angolo EAC uguale all’angolo AEC [I, 5]; ed essendo retto l’angolo C, gli angoli AEC, EAC faranno insieme un retto [I, 32]. Ma sono uguali fra loro, adunque l’uno e l’altro di essi è la metà d’un retto. E per la medesima ragione l’uno e l’altro degli angoli CEB, EBC è la metà d’un retto, onde tutto l’angolo AEB è retto. E perchè l’angolo GEF è la metà d’un retto, ed è retto EGF, essendo eguale all’interno opposto ECB [I, 29], sarà eziandio il terzo angolo EFG la metà d’un retto [I, 32]. Onde l’angolo GEF è eguale all’angolo EFG, e però il lato EG è eguale al lato GF [I, 6]. Similmente; perchè l’angolo B è la metà d’un retto, ed FDB è retto,
