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| 64 | GLI ELEMENTI D’EUCLIDE. |
PROPOSIZIONE IV.
teorema.
Se una linea retta sia segata in qualunque modo, il quadrato di tutta la linea è eguale ai quadrati delle parti ed al doppio rettangolo contenuto dalle dette parti, presi insieme.
Sia la linea retta AB divisa in qualunque modo nel punto C. Dico che il quadrato di AB è eguale ai quadrati di AC, CB, ed al doppio del rettangolo contenuto dalle AC, CB.
Descrivasi sulla AB il quadrato ADEB, conducasi BD, per C tirisi CGF parallela alle AD, BE e per G tirisi HK parallela alle AB, DE. Perchè la CF è parallela alla AD ed in esse cade la BD, sarà l’angolo esterno BGC uguale all’interno opposto ADB, ma l’angolo ADB è uguale all’angolo ABD, perchè il lato DA è uguale al lato AD [I, 5]. Onde l’angolo CGB è uguale all’angolo GBC, e perciò il lato BC è uguale al lato CG [I, 6]; ma il lato CB è anco uguale al lato GK, e CG a BK; adunque eziandio GK è uguale a KB e CGKB è equilatero. Dico oltre a ciò essere rettangolo, perchè essendo la CG parallela alla BK, ed in esse cade la CB, la somma degli angoli KBC, GCB è uguale a due retti; ma è retto l’angolo KBC, adunque eziandio GCB è retto, e retti sono gli angoli opposti CGK, GKB. Onde CGKB è rettangolo. Ma fu dimostrato che è ancora equilatero, adunque CGKB è il quadrato [def. 30] della BC, e per la medesima ra-
