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| 44 | GLI ELEMENTI D’EUCLIDE. |
e il triangolo DEF è metà del parallelogrammo DEFH perchè questo è diviso per metà dalla diagonale DF. Ora le grandezze che sono la metà di grandezze uguali sono uguali fra loro; dunque il triangolo ABC è uguale al triangolo DEF. E però i triangoli costruiti, ecc., c. d. d.
PROPOSIZIONE XXXIX.
teorema.
I triangoli uguali costruiti sulla medesima base e dalla medesima parte di essa sono eziandio compresi tra le medesime parallele.
Siano i triangoli uguali ABC, DBC collocati sulla medesima base BC e dalla medesima parte. Dico essere anche compresi tra le medesime parallele BC, AD.
Conducasi AD. Se la AD non è parallela alla BC, tirisi per A la linea retta AE parallela alla BC (prop. 31], e conducasi EC.
II triangolo ABC è uguale al triangolo EBC [prop. 37], essendo costruiti sulla medesima base BC e tra le medesime parallele BC, AE. Ma il triangolo ABC è uguale al triangolo DBC; onde eziandio il triangolo DBC sarebbe uguale al triangolo EBC, cioè il maggiore al minore, il che non può essere. Non è dunque AE parallela alla BC. Similmente dimostreremmo niun’altra retta essere parallela alla BC, fuorché la AD. Dunque la AD è parallela alla BC, e però i triangoli uguali, ecc., c. d. d.
