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| 30 | GLI ELEMENTI D’EUCLIDE. |
Siano due triangoli ABC, DEF, che abbiano due angoli ABC, BCA uguali ai due DEF, EFD, l’uno all’altro, cioè l’angolo ABC uguale all’angolo DEF, e l’angolo BCA a all’angolo EFD, ed abbiano un lato uguale ad un lato; e consideriamo prima il caso che questo lato sia quello che è fra gli angoli uguali, cioè il lato BC sia uguale al lato EF. Dico che ancora gli altri lati saranno uguali agli altri lati, l’uno all’altro, cioè il lato AB al lato DE, ed il lato AC a DF, ed il terzo angolo BAC uguale al terzo angolo EDF.
Perciocchè se la AB non è uguale alla DE, una di esse sarà maggiore; sia maggiore AB, e pongasi la BG uguale alla DE, e tirisi GC. Allora i due lati GB, BC sono uguali ai due lati DE, EF, l’uno all’altro, e l’angolo GBC è uguale all’angolo DEF; adunque [prop. 4] anche l’angolo GCB sarà uguale all’angolo DFE. Ma l’angolo DFE si suppone uguale all’angolo BCA, onde anche l’angolo BCG sarebbe uguale all’angolo BCA, cioè il minore al maggiore, che non può essere. Non è dunque la AB disuguale alla DE; e però sarà uguale. Ed essendo le due AB, BC uguali alle due DE, EF l’una all’altra, e l’angolo ABC uguale all’angolo DEF, anche la base AC sarà uguale alla base DF, ed il rimanente angolo BAC al rimanente EDF [prop. 4].
Siano ora invece uguali i lati opposti agli angoli uguali, come AB e DE. Dico anche gli altri lati essere uguali agli altri lati, cioè AC a DF, e BC ad EF, ed il rimanente angolo BAC uguale al rimanente EDF.
Perciocchè se la BC non è uguale alla EF, una di esse sarà maggiore. Sia maggiore la BC, se esser può,
