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402 APPENDICE AGLI ELEMENTI D’EUCLIDE.
Osservazione. — Che le superficie dei poligoni regolari
inscritti o circoscritti possano, col raddoppiare
successivamente il numero dei lati, differire dal cerchio
meno di una quantità determinata, piccola ad arbitrio,
risulta facilmente dal lemma 1° del libro XII. Quanto ai
perimetri di due poligoni regolari dello stesso numero di
lati, l’uno inscritto e l’altro circoscritto, si può osservare
che siccome essi sono tra loro come il raggio è all’apotema
del poligono inscritto, così [V, 47] la loro differenza
sarà al poligono inscritto come la differenza del
raggio e dell’apotema, è all’apotema, e quindi la differenza
dei due perimetri sarà uguale alla differenza fra
il raggio del cerchio e l’apotema del poligono inscritto
moltiplicata per il rapporto del perimetro del poligono
inscritto al suo apotema, che è un numero finito; e siccome
questa differenza coll’aumentare il numero dei lati
può ridursi minore di una quantità piccola ad arbitrio,
così potremo dire la stessa cosa della differenza fra i perimetri
dei due poligoni; e la stessa cosa, a più forte ragione,
della differenza fra la circonferenza e i due perimetri,
imperocché quella è sempre compresa fra questi.
10. L'area del cerchio è data dal prodotto della sua
circonferenza per la metà del raggio. Siano A e C l’area
e la circonferenza del cerchio di raggio R; S e P l’area
e il perimetro d’un poligono regolare circoscritto al
cerchio: per ciò che sappiamo sarà S=PxR/2. S’immagini
ora che il numero dei lati del poligono cresca
continuamente; l’uguaglianza precedente sussisterà sempre;
e siccome S tende verso il limite A, e P verso il limite C, avremo
A=CxR/2
11. Le circonferenze stanno fra loro come i raggi, i
