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120 GLI ELEMENTI D’EUCLIDE.
PROPOSIZIONE XXXVII.
teorema.
Da un punto fuori del cerchio tirata una segante ed un’ altra retta che termini alla circonferenza, se il rettangolo dell’ intera segante e della sua parte esterna è eguale al quadrato della seconda linea, questa sarà tangente al cerchio.
Piglisi fuori del cerchio ABC un punto D, e da quello tirinsi al cerchio due linee rette, cioè DCA che seghi il cerchio in C, A, e DB che termini al punto B; ed il rettangolo delle AD, DC sia eguale al quadrato della DB. Dico che la DB sarà tangente al cerchio ABC.
Tirisi una linea retta DE, tangente al cerchio ABC [III, 17|, il cui centro sia F, e conducansi FE,TB, FD. Allora l’angolo FED è retto [III, 18]. E perchè la DE è tangente al cerchio ABC, e la DCA lo sega, il rettangolo delle AD, DC sarà eguale al quadrato di DE [III, 36]. Ma il rettangolo delle AD, DC si suppone uguale al quadrato di DB. Onde il quadrato di DE sarà uguale al quadrato della DB. E perciò la linea DE è uguale alla DB. Allora le due DE, EF sono uguali alle due DB, BF, e la base FD è comune; onde Y angolo DEF è uguale all’ angolo DBF [I, 8]. Ma DEF è retto; dunque DBF ancora è retto. Ma FB prolungata è un diametro, e la retta che è tirata ad angoli retti alla estremità del diametro è tangente al cerchio [III, 16, cor.]. Adunque la DB è tangente al cerchio ABC necessariamente. Laonde da un punto, ecc. c. d. d.
