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| LIBRO TERZO. | 113 |
golo ACD è uguale all’angolo BCD, essendo l’uno e l’altro retto, sarà la base AD uguale alla base DB. Ma ne’ cerchi uguali, epperò anche nel medesimo cerchio, le corde uguali tagliano archi uguali [III, 28], onde l’arco AD sarà uguale all’arco DB. Adunque il dato
arco si è diviso per metà; il che bisognava fare.
PROPOSIZIONE XXX.
teorema.
Nel cerchio l’angolo che è nel mezzo cerchio è retto, quello che è nel maggior segmento è acuto e quello che è nel minor segmento è ottuso.
Sia il cerchio ABCD, il cui diametro sia BC, ed il centro E, e conducansi BA, AC, AD, DC. Dico che l’ angolo BAC che è nel mezzo cerchio è retto, e quello che è nel segmento ABC maggiore del mezzo cerchio, cioè l’angolo ABC, è acuto, e quello che è nel segmento ADC minore del mezzo cerchio, cioè l’angolo ADC, è ottuso.
Conducasi AE, e prolunghisi la BA in F. Poiché la BE è uguale alla EA, l’ angolo EAB sarà uguale all’ angolo EBA [I, 5]. E similmente perchè la EA è uguale alla EC, sarà l’angolo ACE uguale all’ angolo CAE. Adunque tutto l’angolo BAC è uguale alla somma dei due angoli ABC, ACB; ma anche l’angolo FAC esterno al triangolo ABC è uguale alla somma dei due ABC, ACB [I, 32]. Dunque l’angolo BAC è uguale
