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| 104 | GLI ELEMENTI D’EUCLIDE. |
PROPOSIZIONE XIX.
teorema.
Se una linea retta è tangente al cerchio, la perpendicolare ad essa condotta dal punto di contatto passa pel centro del cerchio.
La linea retta DE sia tangente al cerchio ABC nel punto C, e tirisi dal punto C la CA perpendicolare alla DE [I, 11]. Dico che il centro del cerchio è nella AC.
Non sia, ma se è possibile, sia F il centro e conducasi CF. Poiché la linea rettà DE è tangente al cerchio ABC, e la FC è tirata dal centro al punto di contatto, sarà la FC. perpendicolare alla DE [III, 18]. Adunque l’angolo FCE sarebbe retto; ma l’angolo ACE è parimente retto; onde l’angolo FCE sarebbe uguale all’angolo ACE, cioè il minore al maggiore, che è impossibile. Adunque F non è il centro del cerchio ABC. Dimostreremmo ancora che non può essere in alcun altro punto fuori della AC, onde se una linea retta, ecc. c. d. d.
PROPOSIZIONE XX.
teorema.
L’angolo che ha il vertice al centro del cerchio è doppio di quello che ha il vertice alla circonferenza ed insiste sul medesimo arco.
Nel cerchio ABC siano BEC e BAC due angoli,
