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Elimino $\cos r$ fra questa e la (3)

$1-\cos ^{2}i=n^{2}\left(1-{\frac {(k+1)^{2}\cos ^{2}i}{n^{2}}}\right)$

$1-\cos ^{2}i=n^{2}-(k+1)^{2}\cos ^{2}i$

Da quest’ultimo ricavo $\cos i$.

$\cos i={\sqrt {\frac {n^{2}-1}{(k+1)^{2}-1}}}$     (4")

Questa è dunque la formola che esprime la condizione d’incidenza dei raggi efficaci nel caso generale di un numero $k$, qualunque, di riflessioni interne.

Si vede subito che essendo.

$(k+1)^{2}-1=k^{2}+2K$

il denominatore è almeno uguale a $3$ non potendo $k$ essere minore di $1$. Trattandosi di considerare il passaggio da un mezzo meno denso ad un mezzo più denso, $n$ sarà maggiore di $1$ perchè $r<1$ e quindi $\operatorname {sen} r<\operatorname {sen} i.$

Ma se può dirsi che $n>1$, non è men vero che sarà sempre $<2$ perchè ${\frac {\operatorname {sen} i}{\operatorname {sen} r}}<2$

Onde il numeratore di quella frazione posta sotto segno di radice, poiché $n^{2}<4$, sarà minore di $3$. Dunque:

$n^{2}-1<3$     $(k+1)^{2}-1>3$

Se il numeratore di quella frazione non può arrivare a $3$ e il denominatore ha da esser sempre maggiore di $3$, necessariamente dovremo concludere che

${\sqrt {\frac {n^{2}-1}{(k+1)^{2}-1}}}<1$

Dunque il valore trovato per $\cos i$ è sempre ammissibile ed esiste sempre per un colore determinato un valore, uno