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mentre $R$ ed $a$ sono due costanti, può risguardarsi come rappresentante l’elemento lineare, ossia la distanza di due punti infinitamente vicini, in uno spazio di $n$ dimensioni, ciascun punto del quale è definito da un sistema di valori delle $n$ coordinate $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$. La forma di quell’espressione determina la natura di questo spazio.

Ponendo per brevità

$\Omega ={\sqrt {dx^{2}+dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}}$,

le linee geodetiche dello spazio in quistione sono quelle che soddisfanno all’equazione

$\delta \int {\frac {\Omega }{x}}=0$,

colla condizione $x\delta x+x_{1}\delta x_{1}+\cdots +x_{n}\delta x_{n}=0$. Mercè le solite trasformazioni della variazione dell’integrale, la prima equazione può svilupparsi così:

$\int \left\{\delta x\lceil {\frac {\Omega }{x^{2}}}+d{\bigg (}{\frac {dx}{x\Omega }}{\bigg )}\rfloor +\delta x_{1}.d{\bigg (}{\frac {dx_{1}}{x\Omega }}{\bigg )}+\cdots +\delta x_{n}.d{\bigg (}{\frac {dx_{n}}{x\Omega }}{\bigg )}\right\}=0$,

e, stante la relazione che vincola le variazioni $\delta x$, $\delta x_{1}$, $\ldots$, $\delta x_{n}$, dà luogo alle equazioni seguenti:

${\frac {\Omega }{x^{2}}}+d{\bigg (}{\frac {dx}{x\Omega }}{\bigg )}=kx$,

$d{\bigg (}{\frac {dx_{1}}{\Omega x}}{\bigg )}=kx_{1}$,

$\cdots d{\bigg (}{\frac {dx_{n}}{x\Omega }}{\bigg )}=kx_{n}$,

dove $k$ è un fattore da determinare. Ora, moltiplicando queste equazioni ordinatamente per $x$, $x_{1}$, $\ldots x_{n}$ e sommando, si ha

$d\left({\frac {xdx+x_{1}dx_{1}+\cdots +x_{n}dx_{n}}{x\Omega }}\right)=k(x^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})$,

quindi, con riguardo alla (2), $k=0$; epperò

$d{\bigg (}{\frac {dx}{x\Omega }}{\bigg )}+{\frac {\Omega }{x^{2}}}=0$,

(3)

$dx_{1}=c_{1}x\Omega$,

$dx_{2}=c_{2}x\Omega ,\cdots$,

$dx_{n}=c_{n}x\Omega$,

(4)

dove $c_{1}$, $c_{2}$, $\ldots c_{n}$ sono costanti. Queste ultime $n$ equazioni, quadrate e sommate, danno

$\Omega =-{\frac {dx}{\sqrt {1-c^{2}x^{2}}}}$,

(5)