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nite bisogna mettere le equazioni sotto la forma

${\frac {x_{1}}{x_{n}}}=b_{1}+{\frac {b'_{1}}{x_{n}}}$,

${\frac {x_{2}}{x_{n}}}=b_{2}+{\frac {b'_{2}}{x_{n}}},\ldots$

ecc.

e sostituire ai primi membri i valori limiti a cui convergono nei due punti. Se questi limiti sono eguali in entrambi, i valori dei secondi coefficienti restano indeterminati e la linea geodetica non è più unica ed individuata. Se poi i limiti sono diversi le coordinate della linea geodetica sono infinite in ogni punto.

Le considerazioni che hanno condotto all’equazione (13) non sono applicabili agli spazii di curvatura costante positiva, poichè non esistono, per questi, punti all’infinito. Quindi gli enti rappresentati da quella equazione non hanno riscontro in questi nuovi spazii, come non lo hanno le geodetiche reciprocamente parallele.

Si vede che la geometria degli spazii di curvatura costante positiva (che può acconciamente esser chiamata geometria sferica in senso largo, stantechè, come insegna l’equazione (22), i triangoli geodetici vi soggiacciono alle leggi della trigonometria sferica), differisce molto notabilmente dalla pseudosferica, sebbene abbia con questa in comune l’esistenza delle figure eguali. Del resto la geometria pseudosferica conduce spontaneamente a considerare gli spazii di curvatura costante positiva. Infatti ponendo nella (26)

${\frac {a}{x}}=y$,

${\frac {x_{1}}{x}}=y_{1},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x}}=y_{n}$,

si trova

$ds=R{\sqrt {dy^{2}+dy_{1}^{2}+\cdots +dy_{n}^{2}}}$

colla condizione

$y^{2}+y_{1}^{2}+\cdots +y_{n}^{2}=1$,

risultato il quale, posto a riscontro colla equazione (18) in cui siasi fatto $\rho ={\text{cost.}}$ insegna che le sfere geodetiche di raggio $\rho$ nello spazio ad $n$ dimensioni di curvatura costante negativa $-{\frac {1}{R^{2}}}$ sono spazii ad $n-1$ dimensioni di curvatura costante positiva $\left({\frac {1}{R\,{\text{senh}}\,{\frac {\rho }{R}}}}\right)^{2}$· Quindi la geometria sferica può risguardarsi come contenuta nella pseudosferica.

Bologna, agosto 1868.

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