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infinitamente vicino all’origine. Se dunque si divide la somma dei termini di 4º ordine nella (20)' per il quadrato dell’area del triangolo infinitesimo anzidetto, si ha il quoziente ${\frac {4}{3R^{2}}}$ ; e poichè, secondo la definizione di Riemann, tale quoziente moltiplicato per $\textstyle -{\frac {3}{4}}$ esprime la misura della curvatura nel senso dell’elemento superficiale anzidetto, si vede che nello spazio qui considerato tale misura è costante ed $=-{\frac {1}{R^{2}}}$ in ogni direzione intorno a ciascun punto¹. Egli è perciò che questo spazio può acconciamente esser chiamato di curvatura costante.

Una quarta transformazione, importantissima, è quella che si ottiene introducendo $n$ nuove variabili indipendenti $\eta$ , $\eta _{1}$ , $\ldots \eta _{n-1}$ e ponendo

{\frac {Rx}{a-x_{n}}}=\eta

,

{\frac {Rx_{1}}{a-x_{n}}}=\eta _{1}

,

\cdots

{\frac {Rx_{n-1}}{a-x_{n}}}=\eta _{n-1}

.

Se ne trae immediatamente

ds=R{\frac {\sqrt {d\eta ^{2}+d\eta _{1}^{2}+\cdots +d\eta _{n-1}^{2}}}{\eta }}

,

(21)

↑ Per vedere la coincidenza della definizione di Riemann con quella di Gauss, si rammenti che, secondo GAUSS, la misura della curvatura della superficie definita dall’elemento

$ds^{2}=d\rho ^{2}+m^{2}d\theta ^{2}$

è espressa da $-{\frac {1}{m}}{\frac {\partial ^{2}m}{\partial \rho ^{2}}}$ , $m$ essendo funzione in generale di $\rho$ e di $\theta$ . Se la variabile $\rho$ è la lunghezza di un arco geodetico uscente da un punto della superficie nel quale questa abbia una curvatura ordinaria, la funzione $m$ è della forma $m=\rho (1+m'\rho ^{2})$ dove $m'$ è una funzione che per $\rho =0$ non è nè nulla nė infinita (veggansi p. es. questi Annali, p. 358 del tomo prec.) e quindi la misura della curvatura nel punto $\rho =0$ è $=-6m'_{0}$ . Ciò posto, le coordinate di Riemann

z_{1}=\rho \cos \theta

,

z_{2}=\rho \operatorname {sen} \theta

danno all’elemento testè considerato la forma

$ds^{2}=dz_{1}^{2}+dz_{2}^{2}+{\frac {4(m^{2}-\rho ^{2})}{\rho ^{4}}}\left({\frac {z_{1}dz_{2}-z_{2}dz_{1}}{2}}\right)^{2}$ ,

epperò la misura della curvatura nel punto $\rho =0$ è, secondo Riemann, $-{\frac {3}{4}}\lim {\frac {4(m^{2}-\rho ^{2})}{\rho ^{4}}}$ . Ora $\lim {\frac {m^{2}-\rho ^{2}}{\rho ^{4}}}$ (per $\rho =0$ ) $=2m'_{0}$ ; dunque le due espressioni coincidono.

È chiaro che

m'_{0}

cioè

(m')_{\varrho =0}

dev’essere una quantità indipendente da

\theta

.

[1] Per vedere la coincidenza della definizione di Riemann con quella di Gauss, si rammenti che, secondo GAUSS, la misura della curvatura della superficie definita dall’elemento

$ds^{2}=d\rho ^{2}+m^{2}d\theta ^{2}$

è espressa da $-{\frac {1}{m}}{\frac {\partial ^{2}m}{\partial \rho ^{2}}}$ , $m$ essendo funzione in generale di $\rho$ e di $\theta$ . Se la variabile $\rho$ è la lunghezza di un arco geodetico uscente da un punto della superficie nel quale questa abbia una curvatura ordinaria, la funzione $m$ è della forma $m=\rho (1+m'\rho ^{2})$ dove $m'$ è una funzione che per $\rho =0$ non è nè nulla nė infinita (veggansi p. es. questi Annali, p. 358 del tomo prec.) e quindi la misura della curvatura nel punto $\rho =0$ è $=-6m'_{0}$ . Ciò posto, le coordinate di Riemann

$z_{1}=\rho \cos \theta$ , $z_{2}=\rho \operatorname {sen} \theta$

danno all’elemento testè considerato la forma

$ds^{2}=dz_{1}^{2}+dz_{2}^{2}+{\frac {4(m^{2}-\rho ^{2})}{\rho ^{4}}}\left({\frac {z_{1}dz_{2}-z_{2}dz_{1}}{2}}\right)^{2}$ ,

epperò la misura della curvatura nel punto $\rho =0$ è, secondo Riemann, $-{\frac {3}{4}}\lim {\frac {4(m^{2}-\rho ^{2})}{\rho ^{4}}}$ . Ora $\lim {\frac {m^{2}-\rho ^{2}}{\rho ^{4}}}$ (per $\rho =0$ ) $=2m'_{0}$ ; dunque le due espressioni coincidono.

È chiaro che $m'_{0}$ cioè $(m')_{\varrho =0}$ dev’essere una quantità indipendente da $\theta$ .

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