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suoi punti da una geodetica determinata, supponiamo clic questa sia la stessa $v=0$, ciò che è sempre lecito, e chiamiamo $\xi$ la distanza geodetica del punto $(u,v)$ da questa fondamentale. Questa distanza è misurata sopra una delle geodetiche del sistema $u={\text{cost}}$. ed è data dalla formula

$\xi ={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}+v}{{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}-v}}$ .

Supponendo $\xi$ costante, si ha di qui l’equazione fra $u$ e $v$ di una qualunque delle circonferenze geodetiche che hanno il centro nel punto ideale di concorso di tutte le geodetiche normali alla $v=0$.

Chiamiamo $\eta$ l’arco della geodetica $v=0$ compreso fra l’origine e la normale $\xi$: il suo valore è dato da

$\eta ={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {a+u}{a-u}}$ .

Dalle due equazioni qui scritte si trae

$u=a{\text{tgh}}{\frac {\eta }{\text{R}}}$,

$v={\frac {a{\text{tgh}}{\frac {\xi }{\text{R}}}}{\cosh {\frac {\eta }{\text{R}}}}}$,

donde

$\omega ^{2}=a^{2}-u^{2}-v^{2}={\frac {a^{2}}{\cosh ^{2}{\frac {\xi }{\text{R}}}\cosh ^{2}{\frac {\eta }{\text{R}}}}}$ .

Trasformando dalle variabili $u$, $v$ alle $\xi$, $\eta$ l’espressione (1) si trova

(14)	$ds^{2}=d\xi ^{2}+\cosh ^{2}{\frac {\xi }{\text{R}}}d\eta ^{2}$,

espressione che conviene ad una superficie di rotazione.

Designando con $r_{0}$ il raggio del parallelo minimo di questa superficie, che corrisponde evidentemente a $\xi =0$, con $r$ quello del parallelo $\xi$, si ha

$r=r_{0}\cosh {\frac {\xi }{\text{R}}}$

e quindi

${\frac {dr}{d\xi }}={\frac {r_{0}}{\text{R}}}{\text{senh}}{\frac {\xi }{\text{R}}}$ .

Dunque la zona di superficie pseudosferica che può essere realmente conformata a superficie di rotazione e definita dalla condizione

$\left({\frac {r_{0}}{\text{R}}}{\text{senh}}{\frac {\xi }{\text{R}}}\right)^{2}<1$,