Pagina:Beltrami - Saggio di interpretazione della geometria non euclidea, 1868.djvu/12

)( 8 )(

ossia, pei valori attuali di ${\text{E}}$, ${\text{F}}$, ${\text{G}}$,

${\text{tg}}\;\alpha ={\frac {a(n-m)w}{(1+mn)a^{2}-(v-mu)(v-nu)}}$.

Indicando con $\alpha '$ l’angolo delle due corde e con $\mu ,\nu$ gli angoli formati da esse coll’asse delle $x$, si ha $m=tg\mu$, $n=tg\nu$, $\alpha '=\nu -\mu$, e quindi

${\text{tg}}\;\alpha ={\frac {au\operatorname {sen} \alpha '}{a^{2}\cos \alpha '-(v\cos \mu -u\operatorname {sen} \mu )(v\cos \nu -u\operatorname {sen} \nu )}}$.

Il denominatore del secondo membro si mantiene sempre finito in ogni punto reale della superficie, quindi l’angolo $\alpha$ non può essere nullo che quando è nullo il numeratore. Ma $\operatorname {sen} \alpha '$ non è nullo, finchè le due corde si intersecano dentro il cerchio limite e non coincidono in una sola retta: dunque $\alpha$ non è nullo che per $w=0$, cioè quando il punto in cui s’incontrano le due geodetiche è all’infinito.

Conseguentemente possiamo formulare le regole seguenti:

I. A due corde distinte che s’intersecano dentro il cerchio limite corrispondono due geodetiche che si intersecano in un punto a distanza finita sotto un angolo differente da $0^{\circ }$ e da $180^{\circ }$.

II. A due corde distinte che s’intersecano sulla periferia del cerchio limite corrispondono due geodetiche che concorrono verso uno stesso punto a distanza infinita e che fanno in esso un angolo nullo.

III. E finalmente a due corde distinte che s’intersecano fuori del cerchio limite, o che sono parallele, corrispondono due geodetiche che non hanno alcun punto comune su tutta l’estensione (reale) della superficie.

Sia ora $pq$ una corda qualunque del cerchio limite, $r$ un punto interno al cerchio ma esterno alla corda. A questa corda corrisponde sulla superficie una geodetica $p'q'$, diretta verso i punti all’infinito $p'$, $q'$ (corrispondenti a $p$, $q$); al punto $r$ corrisponde un punto $r'$, situato a distanza finita ed esterno alla geodetica $p'q'$. Da questo punto si possono spiccare infinite geodetiche, delle quali alcune incontrano la geodetica $p'q'$, le altre non la incontrano. Le prime sono rappresentate dalle rette che vanno dal punto $r$ ai varii punti dell’arco $pbq$ ($<180^{\circ }$), le altre sono rappresentate da quelle che vanno dallo stesso punto ai varii punti dell’arco $pcq$ ($>180^{\circ }$). Due geodetiche speciali formano il trapasso da quelle dell’una schiera