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divenuti primi tra loro), è oramai impossibile di ridurre ulteriormente cotesta frazione ad un’altra equivalente di forma più semplice, ossia di termini più piccoli.

Infatti 12 e 17 per es., termini della frazione ${\frac {12}{17}}$, essendo primi trà loro, se si supponesse, ch’essa si potesse ridurre ad un’altra, i di cui termini fossero più piccoli, potrebbe accadere, che il numeratore di questa fosse primo, o non fosse primo col numeratore di quella, come per es. il numeratore della frazione ${\frac {7}{8}}$, o ${\frac {9}{11}}$.

Nel primo caso, riducendo al medesimo denominatore le due frazioni ${\frac {12}{17}}$, ${\frac {7}{8}}$, equivalenti per ipotesi, bisognerebbe, che il prodotto di 12 per 8, o di 8 per 12, equivalesse al prodotto di 7 per 17; e che in conseguenza il prodotto di 7 per 17, numeri primi ciascuno separatamente con 12, fosse esattamente divisibile per questo numero; ciò che si è dimostrato impossibile.

Nel secondo caso, riducendo al medesimo denominatore le due frazioni ${\frac {12}{17}}$, ${\frac {9}{11}}$, equivalenti pure per ipotesi, bisognerebbe, che il prodotto di 12 per 11, o di 11 per 12, equivalesse al prodotto di 9 per 17, o di 17 per 9; oppure, met-