Matematiche Fascicolo secondo/Tema secondo - Capitolo III
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§. III.
Appendice al primo e secondo Tema d’Aritmetica sulle Prove così dette del Nove e dell’Undici per le operazioni insegnate in questi due Temi.
1. Quel poco, che nel precedente Tema ed in questo abbiamo insegnato intorno alla Numerazione e Denumerazione, è il fondamento di tutta l’Aritmetica. A queste due operazioni principali, l’una inversa per rapporto all’altra, sempre si ricorre nell’applicazione di questa Scienza, agli usi a’ quali essa serve, e che sono innumerabili; però importa molto il rendersi familiari tali operazioni in tutti quei diversi casi, che abbiamo fin qui considerati.
Ma siccome per la insufficienza nostra, e connaturale disattenzione può accadere in ogni operazione, che si commettano degli errori, sarebbe utile e consolante, se dopo averla eseguita, si avesse un qualche riscontro, o prova ch’essa potesse essere stata fatta bene.
Fra tutte le Prove, che si potrebbero attualmente proporre, noi non sapremmo indicarne altre più facili e spedite delle due, così dette del Nove e dell’Undici, le quali usate congiuntamente potranno servire in ogni caso di prova e di riprova.
2. All’oggetto di far capire, in che cosa esse consistano, noi noteremo prima alcune proprietà de’ due numeri 9 ed 11, considerati separatamente come divisori d’un altro numero qualunque, relativamente al resto, che deve trovarsi dopo la operazione della divisione. Primieramente, rammentandosi che colla divisione non si fa altro che sottrarre dal dividendo il numero più grande, che possa essere in esso contenuto tante volte, quante unità contiene il divisore, per lo che si ha un resto più piccolo di questo divisore stesso, si concepisce bene, che un numero proposto qualunque, considerato come un dividendo, si potrà sempre riguardare come decomposto per addizione in due altri numeri parziali, il primo de’ quali sia divisibile esattamente, cioè senza resto alcuno, per un numero dato, considerato come un divisore, ed il secondo sia più piccolo di questo stesso numero dato. Posto ciò
Essendo proposto un numero scritto, di cui la prima cifra a sinistra sia 1, e tutte le altre cifre siano degli zeri,
1.° Se si divide cotesto numero per 9, siccome, nell’atto che si eseguisce si ha costantemente 1 per resto parziale, com’è facile verificare, così il numero proposto potrà riguardarsi come decomposto per addizione in due altri numeri parziali, il primo de’ quali sia divisibile esattamente per 9, ed il secondo sia 1.
2.° Se si divide cotesto numero proposto per 11, siccome, nell’atto che si eseguisce la operazione, si hanno alternativamente i resti parziali 10 e 1, secondo che il numero degli zeri successivamente considerati è dispari, o pari, com’è facile pure il verificare, così il proposto numero potrà riguardarsi come decomposto per addizione in due altri numeri parziali, il primo dei quali sia divisibile esattamente per 11, ed il secondo sia 10 od 1, secondo chè esso avrà un numero dispari o pari di zeri.
Proposto adesso un secondo numero scritto, di cui la prima cifra a sinistra sia diversa da 1, e tutte le altre cifre siano degli zeri, come nel precedente, siccome esso si può riguardare come la somma di tanti numeri uguali al precedente medesimo, quante unità contiene la sua prima cifra, così è facile persuadersi,
1.° Che questo secondo numero proposto si può pure riguardare come decomposto per addizione in due altri numeri parziali, il primo de’ quali sia esattamente divisibile per 9, ed il secondo sia la sua prima cifra a sinistra, considerata come esprimente unità semplici, ossia del prim’ordine.
2.° Che il medesimo secondo numero proposto si può anche riguardare come decomposto per addizione in due altri numeri parziali, il primo de’ quali sia divisibile esattamente per 11, ed il secondo sia pure la sua prima cifra a sinistra, seguita o nò dalla cifra o, secondochè il numero de’ suoi zeri è dispari o pari.
Proposto finalmente un terzo numero scritto, di cui le cifre siano qualunque, siccome esso si può riguardare come decomposto per addizione in tanti numeri parziali simili al secondo precedente, quante sono le sue cifre significative, ed espressi da queste medesime cifre, seguite ciascuna respettivamente da tanti zeri, quante cifre essa ha dopo di se, così con un pò di reflessione è facile persuadersi.
1.° Che il terzo numero proposto si può pure riguardare come decomposto per addizione in due altri numeri parziali, il primo de’ quali sia divisibile esattamente per 9, ed il secondo sia la somma delle di lui cifre significative, considerate tutte come esprimenti unità semplici, ossia del primo ordine.
2.° Che il medesimo terzo numero proposto si può anche riguardare come decomposto per addizione in tre altri numeri parziali, il primo de’ quali sia divisibile esattamente per 11; il secondo sia decomponibile ne’ numeri espressi dalle di lui cifre significative in posto pari a cominciar da destra, seguite ciascuna separatamente dalla cifra 0; ed il terzo sia decomponibile ne’ numeri espressi dalle di lui cifre significative in posto dispari semplicemente.
Così proposto per esempio il numero 443 050 225 666, oltre ad un numero divisibile esattamente per 11, esso si può riguardare come decomposto in due altri numeri, il primo de’ quali sia decomponibile ne’ numeri 60, 50, 20, 50, 30, 40; ed il secondo sia decomponibile nei numeri 6, 6, 2, 4.
Ora osservando, che due cifre compagne scritte di seguito rappresentano un numero esattamente divisibile per 11, si vede, che, se in luogo della cifra 0, scritta di seguito a ciascuna cifra significativa in posto pari, separata, si scrive questa stessa cifra, il secondo de’ precedenti numeri diverrà anch’esso divisibile esattamente per 11. Ma allora il numero proposto s’aumenta d’un’altro numero, che è la somma delle di lui cifre in posto pari a cominciar da destra; dunque, aumentandosi il numero proposto d’un’altro numero, che sia la somma delle sue cifre significative in posto pari a cominciar da destra, il nuovo numero che ne risulta, si potrà riguardar come decomposto per addizione in due altri numeri soltanto, il primo de’ quali sia divisibile esattamente per 11, ed il secondo sia la somma delle sue cifre in posto dispari a cominciar sempre da destra.
Ora possono darsi due casi secondo che la prima di queste somme è minore, o maggiore della seconda.
Nel primo caso si vede subito, che, togliendosi contemporaneamente la prima somma e dal nuovo numero e dalla seconda, avremo il numero proposto, che si potrà riguardare come decomposto in due altri numeri, il primo de’ quali sia sempre divisibile esattamente per 11, ed il secondo sia l’eccesso della somma delle sue cifre in posto dispari a cominciar da destra su quella delle sue cifre in posto pari.
Nel secondo caso poi aumentandosi il nuovo numero, e nello stesso tempo anche il secondo de’ due, ne’ quali esso si può riguardare come decomposto, tante volte di 11, quante bastano, perchè da questo secondo numero così aumentato si possa sottrarre la somma delle cifre del numero proposto in posto pari, si vede, che aumentando il numero proposto di 11 una o più volte soltanto, avremo un secondo nuovo numero, il quale si potrà riguardare come decomposto in due altri numeri, il primo de’ quali sia divisibile esattamente per 11, ed il secondo sia l’eccesso della somma delle cifre in posto dispari, del numero proposto, dopo averla però aumentata una o più volte di 11, su quella delle cifre in posto pari a cominciar sempre da destra. Togliendo dunque una o più volte 11, e dal secondo nuovo numero per ridurlo al proposto, e dal primo de’ due numeri, ne’ quali esso si può riguardare come decomposto, con che si avrà un resto divisibile per 11, si vede anche in questo secondo caso, che il medesimo numero proposto si può riguardare come decomposto in due numeri, il primo de’ quali sia sempre divisibile esattamente per 11, ed il secondo sia l’eccesso della somma, delle sue cifre in posto dispari, aumentata però di 11 una o più volte, sulla somma delle di lui cifre in posto pari a cominciar sempre da destra. Si conclude dunque definitivamente, che un numero qualunque proposto scritto si può sempre riguardare come decomposto in due altri numeri, il primo de’ quali sia esattamente divisibile per 11, ed il secondo, sia l’eccesso della somma delle sue cifre in posto dispari, aumentata o nò, una o più volte di 11, sulla somma delle sue cifre in posto pari a cominciar da destra.
Così pel numero proposto precedente 443 050 225 666 avendosi 25 per somma delle sue cifre in posto pari, e 18 per quella delle sue cifre in posto dispari, aumentandosi questa seconda somma di 11 una volta sola, con che essa diventa 29, e togliendosi da 29 la prima somma 25, si ha 4, che è minore di 11, pel secondo de’ due numeri, ne’ quali si può riguardare come decomposto cotesto numero proposto.
Si può qui avvertire, che siccome nel secondo caso la somma delle cifre del numero proposto in posto dispari si può aumentare di 11, tante volte quante bastano e non più, perchè da essa, così aumentata, si possa sottrar quella delle sue cifre in posto pari, così il resto che si trova, sarà sempre minore di 11; e perciò il proposto numero si potrà riguardare come decomposto in due altri numeri, il primo de’ quali sia divisibile esattamente per 11, ed il secondo sia minore di 11.
Facendo dunque la ipotesi, che il numera proposto sia tale, che nel primo caso l’eccesso della somma delle sue cifre in po sto dispari, a cominciar da destra, su quella delle cifre in posto pari sia minore di 11, come pure la ipotesi, che la somma di tutte le sue cifre sia minore di 9, da quanto abbiamo fin qui detto è facile concludere
1.° Che il resto della divisione per 9 del numero proposto è la somma delle sue cifre, considerate tutte come esprimenti unità semplici;
2.° Che il resto della divisione per 11 del medesimo numero è l’eccesso della somma delle sue cifre in posto dispari, aumentata o nò di 11 tante volte quante bastano per la sottrazione e non più, sulla somma delle cifre in posto pari, a cominciar da destra, e considerate tutte come esprimenti unità semplici.
Se l’una o l’altra delle precedenti ipotesi non ha luogo, allora, invece del numero proposto, considerandosi il secondo de’ due, ne’ quali esso si può riguardar come decomposto, e facendosi relativamente a questo le ipotesi stesse, e così di seguito, da quanto abbiamo pure sin quì detto ci pare di poter generalmente concludere
1.° Che in un proposto numero la somma delle sue cifre, oppure la somma di quelle di una tal somma, e così di seguito, finchè si abbia per ultima somma un numero minor di 9, sarà il resto della divisione per 9 del numero proposto;
2.° Che in un proposto numero l’eccesso della somma delle sue cifre in posto dispari a cominciar da destra, aumentata o nò, una o più volte di 11, su quella delle cifre in posto pari, oppure in questo eccesso l’eccesso della somma delle cifre in posto dispari a cominciar da destra, aumentata o nò, una o più volte di 11, sù quella delle cifre in posto pari, e così di seguito, finchè si abbia per ultimo eccesso un numero minore di 11, sarà il resto della divisione per 11 del numero proposto.
Quindi è, che per ottenere il resto della divisione per 9, o per 11 d’un numero proposto si propone la seguente regola.
«1.° Addizionando tutte le cifre del numero proposto rigettate il numero 9 di mano in mano che avrete per somma un numero uguale o maggiore; il resto sarà quello della divisione per 9.
«2.° Addizionando a cominciar da destra le cifre in posto dispari a parte, e quelle in posto pari a parte, rigettate il numero 11 di mano in mano che avrete per somma un numero uguale o maggiore; l’eccesso del primo resto, aumentato o nò di 11, sul secondo sarà quello della divisione per 11.»
Così pel resto della divisione per 9 del numero 443 050 225 666 di sopra proposto avrete 7, ed avrete 4 pel resto della divisione per 11.
3. Passiamo adesso a vedere, come le proprietà, che abbiamo scoperte de’ due divisori 9 ed 11 d’un numero proposto, considerato come un dividendo, relativamente ai resti più piccoli di cotesti divisori, e che noi chiameremo resti definitivi, possono servire alla verificazione delle operazioni, che abbiamo nei due precedenti ’ Temi insegnate.
Incominciando dalle Operazioni dirette, e segnatamente dall’Addizione, siccome un numero qualunque può riguardarsi, come decomposto per addizione in due altri numeri, il primo de’ quali sia divisibile esattamente per 9, o per 11, ed il secondo sia il suo resto definitivo, è chiaro, che il resto definitivo d’un numero, che sia la somma di due o più altri numeri, dev’essere lo stesso del resto definitivo della somma de’ resti definitivi parziali di cotesti numeri. Quindi si conclude
1.° Che, se la somma di due o più numeri è stata fatta bene, bisogna, che il resto definitivo di lei sia lo stesso del resto definitivo della somma de’ resti definitivi parziali di cotesti numeri. Perciò per la verificazione dell’Addizione si propone la seguente regola.
«Cercate il resto definitivo della somma avuta. Poi cercate i resti definitivi di tutti i numeri addizionati, e fate la somma di questi secondi resti. Se la operazione è stata fatta bene, il resto definitivo di questa seconda somma sarà lo stesso di quello della prima, che vuolsi verificare.»
Nel caso particolare, in cui i numeri addizionati siano tutti uguali tra loro, siccome la loro somma è il prodotto di uno di essi pel loro numero, e la somma de’ loro resti, che sono pure tutti uguali tra loro, è il prodotto d’uno di questi resti per lo stesso numero, così il resto del primo prodotto, che è un prodotto di due fattori, dovrà essere lo stesso del resto del secondo prodotto, che è quello di un fattore pel resto dell’altro; e quindi lo stesso del resto del prodotto de’ resti di cotesti due fattori. Perciò si conclude
2.° Che, se il prodotto di due numeri, o fattori, è stato fatto bene, bisogna, che il resto definitivo di lui sia lo stesso del resto definitivo del prodotto de’ resti definitivi parziali de’ suoi fattori.
Prendendo in luogo d’uno de’ due numeri, o fattori, un prodotto di mano in mano di due, di tre,..... altri fattori, si concluderebbe nello stesso modo, che, se il prodotto di più di due fattori è stato fatto bene, bisogna che il resto definitivo d’un tal prodotto sia lo stesso del resto definitivo del prodotto de’ resti definitivi parziali di tutti cotesti fattori. Perciò per la verificazione della moltiplicazione si propone la seguente regola.
«Cercate il resto definitivo del prodotto avuto. Poi cercate i resti definitivi di tutti i fattori, e fate il prodotto di questi resti. Se la operazione è stata fatta bene, il resto definitivo di questo secondo prodotto sarà lo stesso di quello del primo, che vuolsi verificare».
3.° Nel caso particolare, in cui i fattori d’un prodotto siano tutti uguali tra loro, siccome un tal prodotto non è, che una certa potenza di uno di essi, ed il prodotto de’ resti de’ fattori, che sono pure tutti uguali tra loro, non è che una potenza del medesimo grado d’uno di questi resti, così per la verificazione della Elevazione a potenze d’un numero si propone la seguente regola
«Cercate il resto definitivo della potenza avuta. Poi cercate il resto definitivo di cotesto numero e fate d’un tal resto la potenza del medesimo grado. Se la operazione è stata fatta bene, il resto definitivo di questa seconda potenza sarà lo stesso di quello della prima, che vuolsi verificare».
4. Passando alle Operazioni inverse, e segnatamente alla Sottrazione, siccome un Diminuendo si può riguardare come resultante dall’Addizione de’ Diminutori al Resto, che si trova dopo la sottrazione, così per quello che precede si conclude
1.° Che, se la sottrazione di uno o più Diminutori da un Diminuendo proposto è stata fatta bene, bisogna, che il resto definitivo di lui sia lo stesso del resto definitivo della somma resultante dall’Addizione de’ resti definitivi parziali de’ Diminutori al resto definitivo del Resto della operazione. Perciò per la verificazione della Sottrazione si propone la seguente resola:
«Cercate il resto definitivo del resto della operazione, ed i resti definitivi de’ diminutori, e fate la somma di tutti. Poi cercate il resto definitivo di questa somma, e quello del diminuendo. Se la operazione è stata fatta bene, questi due ultimi resti saranno tra loro uguali».
Nel caso particolare, in cui più diminutori siano tutti uguali tra loro ed i più grandi possibili, il diminuendo si può considerare come un Dividendo uno de’ diminutori come il Quoziente, ed il loro numero come il Divisore; di modo che il Dividendo stesso resulterà dall’addizione del prodotto del Quoziente pel Divisore al Residuo della operazione della divisione. Quindi si conclude;
2.° Che, se una Divisione è stata fatta bene, bisogna che il resto definitivo del Dividendo sia lo stesso di quello della somma del prodotto del Quoziente pel Divisore, e del Residuo della Operazione. Perciò per la verificazione della divisione si propone la seguente regola
«Cercate il resto definitivo del Dividendo. Poi cercate i due resti definitivi del Divisore e del Quoziente, ed il resto definitivo del Residuo della operazione. Al resto definitivo del prodotto di questi primi due resti aggiungete il terzo. Se la operazione è stata fatta bene, il resto definitivo della somma, che avrete, sarà lo stesso del primo resto del Dividendo».
Nel caso anche vie più speciale, in cui i Diminutori uguali essendo i più grandi possibili, il loro numero sia precisamente uguale ad uno di essi, oppure alla di lui seconda, terza,...... potenza, il Diminuendo si può considerare come un numero proposto, di cui uno di cotesti diminutori sia la radice respettivamente quadrata, cubica, quarta,..... di modo che cotesto proposto numero resulterà dall’addizione del quadrato, cubo, quarta,..... potenza della sua respettiva radice al Residuo della operazione in una Estrazione di Radici. Quindi si conclude
3.° Che, se una Estrazione di Radice è stata fatta bene, bisogna che il resto definitivo del numero proposto sia lo stesso di quello della somma della potenza perfetta corrispondente della radice estratta, e del Residuo della operazione. Perciò per la verificazione della Estrazione delle radici quadrate e cubiche si propone la seguente regola.
«Cercate il resto definitivo del numero proposto. Poi cercate il resto definitivo della Radice estratta quadrata, o cubica, e quello del Residuo della operazione. Fate il quadrato, o cubo del primo di questi due resti, ed aggiungete un tal quadrato o cubo al secondo resto. Se la operazione è stata fatta bene, il resto definitivo della somma che avrete, sarà lo stesso del primo del numero proposto».
Passiamo a degli esempj.
1°. Essendosi in addietro trovato, che il quoziente del numero 443 050 225 666 diviso per 79 765 è 5 554 444, e che residuo è 6, siccome il resto definilivo per 9 del dividendo è 7, quello del divisore è parimente 7, del quoziente è 4 e del residuo è 6, così il resto definitivo per 9 del prodotto 28 di 4 per 7, ossìa 1, aggiunto a 6 dandoci 7 per somma, si ha una prova che la operazione possa essere stata fatta bene.
Per averne anche una riprova si osservi, che, siccome il resto definitivo per 11 del dividendo è 4, come pure 4 è del divisore, 5 del quoziente e 6 del residuo, così il resto definitivo per 11 del prodotto 20 di 4 per 5 sarà 9, e però, aggiungendo 6 a 9, il resto definitivo per 11 della somma 15 è 4, come quello del dividendo.
2.° Essendosi pure trovato, che 7 348 è la radice quadrata del numero 54 000 000, col residuo 6 896, siccome il resto definitivo per 11 del numero proposto è 10, quello della radice è 0, e quello del residuo è pure 10, si ha una prova che la operazione possa essere stata fatta bene.
3.° Essendosi parimente trovato, che la radice cubica del numero 51 230 158 344 è 3 714 senza alcun residuo, siccome il resto definitivo per 9 di questa radice è 6, e quindi quello del di lei cubo 216 è 0, come lo è pur quello del numero proposto, così si ha una prova che la operazione possa essere stata fatta bene.
Non staremo qui a dare altri esempj rilasciando ad altri la cura di verificare le operazioni, che abbiamo in addietro fatte.
5. Del rimanente noi siamo ben lungi dall’asserire, che la nostra Prova del Nove o dell’Undici, di cui abbiamo fin quì parlato, basti per la sicurezza de’ calcoli. Noi diciamo soltanto, ch’essa è necessaria, vale a dire, che, se cotesti calcoli sono stati fatti bene, essa deve essere soddisfatta; ma reciprocamente, se essa è soddisfatta, noi non intendiamo di dire, che nostri calcoli siano stati fatti bene; perchè vi possono essere delle cifre cambiate di posto, oppure errate in modo, che nella operazione dell’una o dell’altra Prova gli errori commessi nella Operazione, che vuolsi verificare, si compensino tra loro; e quindi tali errori rimangano a noi nascosti.