[p. 206 modifica]
§ 65. — Derivazione per serie.
Teor. Se la serie
(1)
è convergente nell'intervallo
, se esiste la derivata di ogni suo termine, se la serie delle derivate
(2)
è totalmente convergente in (a, b), allora (2) rappresenta proprio la derivata di (1). Cioè la derivata di (1) si può ottenere derivando termine a termine.
Sia
il limite superiore dei valori
. per ipotesi la serie
è convergente. Consideriamo i valori assoluti dei rapporti incrementali
(3)
,
quando
ed
variano nell'intervallo (
). Per il teorema della media, la quantità (3) vale
. Quindi (3) non può superare
. E quindi la serie
(4)
è totalmente convergente. Il suo limite per
è dunque uguale alla serie ottenuta passando al limite termine a termine. Perciò i limite di (4) per
vale
(2)
Ora, se
è la somma di (1), la (4) vale
. Dunque la serie (2) è il
cioè vale
.