Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 61

Capitolo 8 - Derivate successive

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Capitolo 8 - Paragrafo 60 Capitolo 9
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§ 61. — Derivate succive.


α) Sia la velocità di un punto mobile all'istante . Il movimento si dice uniformemente accelerato, se la velocità riceve incrementi uguali in tempi uguali; e il tal caso il rapporto , dove è l'incremento ricevuto dalla velocità in un intervallo di tempo di ampiezza , si dice l'accelerazione del movimento.

Ne caso generale tale rapporto assume il nome di accelerazione media nell'intervallo () di tempo considerato. E, per ragioni analoghe a quelle svolte negli esempi di pag. 157 e seg., il suo limite per , ossia si dice accelerazione all'istante . L'accelerazione si presenta così come la derivata della velocità rispetto al tempo .

Ora, se è lo spazio percorso dal nostro punto all'istante , è . Quindi l'accelerazione è data dalla derivata della derivata di .

β) In generale la derivata della derivata di una funzione si indica con o con e si chiama derivata seconda di <math<y=f(x)</math>. Questa p una nuova funzione di , che a sua volta può ammettere una derivata che si chiama derivata terza di e si indica con o con . E così via.

In generale può ammettere una derivata o dell'ordine che si indica con o con .

La si chiama anche prima derivata di .

Con si indica il prodotto di per .

Con        ”           ”      ”   ” .

Il simbolo , teste definito, riceve il titolo di differenziale . [p. 192 modifica]Osserviamo che è il differenziale di


quando per un momento si consideri come costante1. Infatti in questa ipotesi la derivata di , ossia di è , e il suo differenziale è .

Con queste convenzioni, la derivata si può scrivere nella forma .

γ) Abbiamo detto (§ 59, pag. 187) che, se , allora

,


anche se non è la variabile indipendente.

Un teorema analogo non vale per i differenziali di ordine superiore al primo; tutte le volte che si introducono nel calcolo tali differenziali, bisogna prefissare quale è la variabile indipendente scelta, e non più mutarla nel resto del calcolo.

Basti ricordare che il differenziale secondo della variabile indipendente è nullo, perchè la derivata seconda della rispetto alla è nulla.

Esempio.

Calcolare le derivate successive del polinomio:

.

Si trova:





.


E le derivata successive, dalla in poi, sono nulle.



Note

  1. Cioè si considera come indipendente dalla , ossia come avente uno stesso valore in ogni punto , e perciò come avente derivata nulla ruspetto alla .