Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 59

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 8 - Derivazione delle funzioni di funzioni

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[p. 186 modifica]

§ 59. — Derivata delle funzioni di funzioni.

Sia $y$ una funzione di una funzione $z$ della $x$ . Sia cioè

$y=f(z)$ , $z=\varphi (x)$ .

Vale a dire, quando la $x$ varia in un certo intervallo, sia individuato il valore della variabile $z$ ; e questo valore della $z$ individui alla sua volta il valore di $y$ (§ 29, γ, pag. 97).

Supponiamo che esistano le derivate $y_{z}=f'(z){\text{e}}z'_{x}=\varphi '(x)$ della $y$ rispetto alla $z</<math>,edella<math>z$ rispetto alla $x$ . Si vuol trovare la derivata $y'_{x}$ della $y$ (considerata come funzione della $x$ ) rispetto alla $x$ .

L'incremento $\Delta x$ dato alla $x$ individua il corrispondente incremento $\Delta z$ ricevuto dalla $z$ ; e questo individua l'incremento della $Deltay$ della $y$ . [p. 187 modifica]Sarà (ricordando che $\lim _{\Delta \,x=0}\Delta \,z=0$ )

$y'_{x}=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,y}{\Delta \,x}}=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,y}{\Delta \,z}}\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}=$

$f'\,(z)\varphi '(x)=y'_{z}z'_{x}$ .¹

Cioè: Se y è una funzione derivabile dalla z, e la z è funzione derivabile della x, la derivata y'_x della y rispetto alla x uguaglia il prodotto della derivata di y rispetto alla z per la derivata della z rispetto alla x.

Osserv. Sia $y=f(z),z=\varphi (x)$ ; e tanto la $y$ che la $z$ si possano considerare come funzioni della $x$ . Sarà quindi per definizione in tale ipotesi

$dy=y'_{x}dx$ (1); $dz=z'_{x}dz$ (2)

Ma è $y'_{x}=y'_{z}z'_{x}$ . Quindi la (1) equivale alla $dy=y'zz'_{x}dx$ , che per (2) si può scrivere:

{{centrato| $dy=y'_{z}dz$ (3)

Questa formola, vera per definizione se $z$ è la variabile indipendete, è vera dunque anche se z non è la variabile indipendente (ma invece le $y,z$ sono pensate come funzioni di una terza variabile $x$ ).

Si noti che, per il teorema i derivazione delle funzioni inverse, essa è vera anche se la stessa $y$ si assume a variabile indipendente, e si considera come funzione di $y$ .

In tal caso infatti, essendo $y'_{z}={\frac {1}{z'_{y}}}$ , tale formola si riduce alla $dz=z'_{y}dy$ .

Applicazione.

Siano $x=x(t),y=y(t)$ le coordinate di un punto, che al variare della $t$ descrive una curva. Siano $x(t),y(t)$ funzioni con derivata finita; e si possa in un certo intorno del punto $t=\alpha$ [p. 188 modifica]considerare² $y$ come funzione di $x$ . Sarà $y'_{z}={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'(t)dt}{x'(t)dt}}={\frac {y'(t)}{xx'(ty)}}$ . L'equazione della retta tangente sarà

$y-y(\alpha )=[x-x(\alpha )]{\frac {y'(\alpha }{x'(\alpha )}}$ ,

ossia $[y-y(\alpha )]:y'(\alpha )=[z-z(\alpha )]:x'(\alpha )$ ; questa equazione si può dimostrare direttamente, anche senza ammettere che $y$ si possa considerare come funzione della $x$ , e senza usare il linguaggio differenziale. L'allievo applichi tale formola p. es. alla curva $x=a{\text{cost}}\,t,y=b{\text{sen}}\,t$ che coincide con l'ellisse ${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ). (Cfr. Cap. 19, § 117).

Note

↑ Questa dimostrazione cessa di essere valida, se per valori di $\Delta \,x\not =0$ è $\Delta \,z=0$ . Ma si osservi che $\Delta \,y=y'_{z}\Delta \,z+\epsilon \Delta \,z$ , dove $\lim \epsilon =0$ . Quindi in ogni caso

$y'z=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,y}{\Delta \,x}}=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}+\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}=y'_{z}z'_{x}$
↑ Cioè si possa considerare t come funzione della x [inversa della $x=x(t)$ ]. La y sarà funzione di t, funzione della x, che si considererà come funzione della x.

[1] Questa dimostrazione cessa di essere valida, se per valori di $\Delta \,x\not =0$ è $\Delta \,z=0$ . Ma si osservi che $\Delta \,y=y'_{z}\Delta \,z+\epsilon \Delta \,z$ , dove $\lim \epsilon =0$ . Quindi in ogni caso

$y'z=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,y}{\Delta \,x}}=\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}+\lim _{\Delta \,x=0}{\frac {\Delta \,z}{\Delta \,x}}=y'_{z}z'_{x}$

[2] Cioè si possa considerare t come funzione della x [inversa della $x=x(t)$ ]. La y sarà funzione di t, funzione della x, che si considererà come funzione della x.

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