Lezioni di analisi matematica/Capitolo 19/Paragrafo 126

by Guido Fubini

Capitolo 19 - Curvatura e torsione di una linea sghemba

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 19 - Curvatura e torsione di una linea sghemba

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§ 126- — Curvatura e torsione di una linea sghemba.

La teoria del cerchio osculatore, e della curvatura di una linea piana si può estendere alle curve sghembe. Noi estenderemo soltanto la definizione di curvatura, trattando della definizione analoga di torsione.

Partiamo dalla formola che dà la curvatura in $A$ come il limite del rapporto dell'angolo di due tangenti all'arco compreso tra i punti di contatto. Noi potremo generalizzare ponendo le seguenti definizioni (Cfr. questo §, $\gamma$):

$\alpha$) Sia $C$ una curva, da ogni punto $A$ della quale esca una retta $r$. Le coordinate $x,y,z$ di un punto $C$ e i coseni direttori $\lambda ,\mu ,\nu$ della retta corrispondente si potranno considerare come funzioni del relativo arco $s$ della curva, misurato a partire da un qualsiasi punto iniziale.

Sia $\theta$ l'angolo delle due rette uscenti da due punti $A,B$ di $C$; in $A$ l'arco $s$ abbia il valore $s_{0}$, in $B$ il valore $s_{0}+h$. Ammetteremo che quando $B$ si avvicina d math>A</math>, ossia per $h=0$, sia $\lim \theta =0$ (che cioè la direzione della retta $r$ varii con continuità al variare di $s$). Può darsi che $\lim _{h=0}{\frac {\theta }{h}}$ abbia un valore determinato. Proviamoci a determinarlo.

In tale ricerca possiamo moltiplicare ${\frac {\theta }{h}}$ per ${\frac {{\text{sen}}\,\theta }{\theta }}$, poichè

$\lim _{\theta =0}{\frac {{\text{sen}}\,\theta }{\theta }}=1$.

Il limite cercato diventa così il $\lim _{h=0}{\frac {{\text{sen}}\,\theta }{h}}$.

Cerchiamo il limite per $h=0$ di questa espressione. La retta che esce da $A$ ha per coseni di direzione $\lambda ,\mu ,\nu$; quella che esce da $B$ avrà per coseni di direzione:

$\lambda +\Delta \,\lambda </mayh>,<math>\mu +\Delta \,\mu$, $\nu +\Delta \,\nu$

Una formola di Geometria Analisitica dice che (cfr. es. 1° a pag. 79)

${\text{sen}}^{2}\,\theta ={\begin{Vmatrix}\lambda &\mu &\nu \\\lambda +\Delta \,\lambda &\mu +\Delta \,\mu &\nu +\Delta \,\nu \end{Vmatrix}}^{2}$.

Sottraendo la prima della seconda riga¹ avremo:

${\text{sen}}^{2}\,\theta ={\begin{Vmatrix}\lambda &\mu &\nu \\\Delta \,\lambda &\Delta \,\mu &\Delta \,\nu \end{Vmatrix}}^{2}$,

${\text{sen}}\,\theta ={\begin{vmatrix}1&\lambda \,\Delta \,\lambda +\mu \,\Delta \,\mu +\nu \,\Delta \,\nu \\\lambda \,\Delta \,\lambda +\mu \,\Delta \,\mu +\nu \,\Delta \,\nu &\Delta \,\lambda ^{2}+\Delta \,\mu ^{2}+\Delta \,\nu ^{2}\end{vmatrix}}$

ossia:

${\text{sen}}^{2}\,\theta =\Delta \,\lambda ^{2}+\Delta \,\mu ^{2}+\Delta \,\nu ^{2}-(\lambda \,\Delta \,\lambda +\mu \,\Delta \,\mu +\nu \,\Delta \,\nu )^{2}$

e quindi(poichè $h=\Delta \,s=$ incremento dell'arco):

$\left({\frac {{\text{sen}}\,\theta }{h}}\right)^{2}={\frac {\Delta \,\lambda ^{2}+\Delta \,\mu ^{2}+\Delta \,\nu ^{2}}{\Delta \,s^{2}}}-{\frac {(\lambda \,\Delta ,\lambda +\mu \,\Delta \,\mu +\nu \,\Delta \,\nu )^{2}}{\Delta \,s^{2}}}$

e

$\lim \,\left({\frac {{\text{sen}}\,\theta }{h}}\right)^{2}={\lambda '}^{2}+{\mu '}^{2}+{\nu '}^{2}-(\lambda \lambda '+\mu \mu '+\nu \nu ')^{2}={\begin{Vmatrix}\lambda &\mu &\nu \\\lambda '&\mu '&\nu '\end{Vmatrix}}^{2}$

se Errore del parser (funzione sconosciuta '\lmabda'): {\displaystyle \lmabda, \mu, \nu} posseggono derivate finite (rispetto a $s$).

Ricordando che $\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=1$, derivando avremo:

$2\,\lambda \lambda '+2\,\mu \mu '+2\,\nu \nu '=0$,

ossia:

$\lambda \lambda '+\mu \mu '+\nu \nu '=0$.

Quindi sarà:

$\lim \left({\frac {{\text{sen}}\,\theta }{h}}\right)^{2}={\lambda '}^{2}+{\mu '}^{2}+{\nu '}^{2}={\begin{Vmatrix}\lambda &\mu &\nu \\\lambda '&\mu '&\nu '\end{Vmatrix}}^{2}$

$\lim {\frac {{\text{sen}}\,\theta }{h}}=\pm {\sqrt {{\lambda '}^{2}+{\mu '}^{2}+{\nu '}^{2}}}={\sqrt {{\begin{Vmatrix}\lambda &\mu &\nu \\\lambda '&\mu '&\nu '\end{Vmatrix}}^{2}}}$.

Questa formola misra, per così dire, la rapidità con cui le rette, che studiamo, cambiano direzione. C'è ambiguità di segno, ma questo è spiegato dal fatto che non si è determinato in segno l'angolo delle due rette.

$\beta$) Un'applicazione tra le più importanti è quella di misurare (se cos' ci è lecito esprimerci) la rapidità con cui una curva sghemba si torce, cioè si allontana dall'essere piana. Se la curva fosse piana, essa avrebbe per piano osculatore sempre lo stesso suo piano, e le binormali sono sempre parallele tra loro. Misurare la rapidità con cui una curva si torce è come misurare la rapidità con cui le binormali, anzichè restar parallele tra loro, deviano una dall'altra; rapidità che, secondo le precedenti convenzioni è misurata da ${\sqrt {{\lambda '}^{2}+{\mu '}^{2}+{\nu '}^{2}}}$, in cui per $\lambda ,\mu ,\nu$ si pongano i valori dei coseni di direzione della binormale. Questo numero si assume per definizione come valore ella torsione della curva.

Le curve piane hanno la torsione nulla; quanto più piccola è la torsione, tanto più la curva si avvicina ad essere piana.

$\gamma$ La curvatura di una curva in un punto è un numero che, si può dire, serve a misurare quanto rapidamente la curva si allontana dall'essere una retta.

Anche nel linguaggio comune si dice che un arco di cerchio di raggio grande è poco curvo, quello di un cerchio di raggio piccolo è molto curvo.

Per definire la curvatura basta trovare una quantità che sia tanto più piccola quanto più, secondo la nostra intuizione, la cruva si avvicina ad essere una retta.

Prendiamo tutte le tangenti a una curva; se questa è retta, tutte le tangenti coincideranno, e quanto più la curva è curvata, tanto maggiore (a parità di arco fra i punti di contatto) sarà 'angolo che le due tangenti formano tra loro.

Dunque si può misurare la curvatura di una curva come la rapidità di cambiamento di direzione delle tangenti alla curva stessa. Curvatura di una curva sarà perciò per definizione il valore di ${\sqrt {{\lambda '}^{2}+{\mu '}^{2}+{\nu '}^{2}}}$, dove $\lambda ,\mu \,\nu$ sieno i coseni direttori della tangente. È evidente che questa è proprio la stessa definizione data per le curve piane, come del resto verificheremo più avanti col calcolo effettivo.

Se $x,y,z$ sono le coordinate in funzione dell'arco dei punti della curva, i coseni di direzione delle tangenti saranno $x',y',z'$, e quindi:

curvatura$={\sqrt {{x''}^{2}+{y''}^{2}+{z''}^{2}}}={\sqrt {{\begin{Vmatrix}x'&y'&z'\\x''&y''&z''\end{Vmatrix}}^{2}}}$

Così la curvatura è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle derivate seconde delle $\mathrm {x,y,z}$, prese rispetto all'arco come parametro². Si dimostra che i coseni di direzione della normale principale sono proporzionali a $x'',y'',z''$³, ossia sono uguali ad $hx'',hy'',hz''$, dove $y$ si determinerà in modo che:

$h^{2}\left\{{x''}^{2}+{y''}^{2}+{z''}^{2}\right\}=1$;

cosicchè:                         $h={\frac {1}{\sqrt {{x''}^{2}+{y''}^{2}+{z''}^{2}}}}$.

Ma il radicale ${\sqrt {{x''}^{2}+{y''}^{2}+{z''}^{2}}}$ non è altro che la curvatura; quindi

$h={\frac {1}{\text{curvatura}}}$;

e i coseni di direzione della normale principale saranno:

               ${\frac {x''}{\text{curvatura}}}$,          ${\frac {y''}{\text{curvatura}}}$,          ${\frac {z''}{\text{curvatura}}}$.

L'inverso della torsione si chiama raggio di torsione, l'inverso della curvatura si chiama raggio di curvatura.

$\delta$) Applichiamo le considerazioni fatte alle curve piane. Per una curva posta nel piano $z=0$ avremo

$={\sqrt {{\begin{vmatrix}x'&y'&0\\x''&y''&0\end{vmatrix}}^{2}}}={\sqrt {{\begin{vmatrix}x'&y'\\x''&y''\end{vmatrix}}^{2}}}=\pm (x'y''-y'x'')$,

se, ricordiamo, il parametro rispetto a cui si deriva, è lo stesso arco $\mathrm {s}$ della curva. Il lettore noti che questa formola coincide con l'ultima del § 124 (pag. 416).

Osservazione. Se $x,y,z$ sono le coordinate di un punto di una curva date in funzione dell'arco $s$, abbiamo già visto che

$\alpha ={\frac {dx}{ds}}$, $\beta ={\frac {dy}{ds}}$, $\gamma ={\frac {dz}{ds}}$,

$\xi =\rho {\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}$, $\eta =\rho {\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}$, $\xi =\rho {\frac {d^{2}z}{ds^{2}}}$ ($\rho =$ raggio curvatura)

sono rispettivamente i coseni direttori della tangente e della normale principale. Se considerino ora $x,y,z$ come funzioni di un altro parametro $t$ pure individuante i punti della stessa curva. Anche l'arco $s$ sarà una funzione della $t$. E avremo, posto $s_{t}={\frac {ds}{dt}}$, $s'_{t}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}$:

${\frac {dx}{dt}}={\frac {dx}{ds}}s'_{t}=\alpha \,s'_{t}$, ${\frac {dy}{dt}}=\beta \,s'_{t}$, ${\frac {dz}{dt}}=\gamma s'_{t}$,

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{ds}}s'_{t}\right)={s''}_{t}{\frac {dx}{ds}}+s_{t}^{2}{\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}=\alpha {s''}_{t}+{\frac {1}{\rho }}{s'}_{t}^{2}\xi$;

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\beta s_{t}+{\frac {1}{2rho}}{s'}_{t}^{2}\eta$; ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\gamma {s''}_{t}+{\frac {1}{\rho }}{s'}_{t}^{2}\xi$

Le quali formole, fondamentali per la cinematica, ci permettono facilmente di ricavare i valori di $\alpha ,\beta ,\gamma ,\zeta \,\eta ,\xi$ dai valori delle derivate $x,y,z,s$ rispetto alla $t$. Si deduce, per esempio:

${\frac {1}{\rho }}\xi ={\frac {s'_{t}{x''}_{t}-x'_{t}{s''}_{t}}{{s'}_{t}^{2}}}$ e analoghe.

Quest'ultima formola si poteva anche ottenere, ricordando che:

${\frac {1}{\rho }}\xi ={\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}={\frac {d}{ds}}\left({\frac {dx}{ds}}\right)={\frac {d}{ds}}\left({\frac {x'_{t}}{s'_{t}}}\right)={\frac {1}{s'_{t}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x'_{t}}{s'_{t}}}\right)$.

Note le $\alpha ,\beta ,\gamma ,{\frac {1}{\rho }}\xi ,{\frac {1}{\rho }}\eta ,{\frac {1}{\rho }}\zeta$ si ricava tosto $\rho$ ricordando che:

${\frac {1}{\rho ^{2}}}=\left[{\frac {1}{\rho }}\xi \right]^{2}+\left[{\frac {1}{\rho }}\eta \right]^{2}+\left[{\frac {1}{\rho }}\zeta \right]^{2}$.

E i coseni direttori della bnormale si hanno tosto, osservando che questa retta è normale alla tangente e alla normale principale.

Esempi.

1° Determinare l'equazione della catenaria, la curva cioè che soddisfa alla:

               ${\frac {dy}{dx}}=hs$     ($h=$ cost.; $s=$ arco curva) ($h\not =0$).

Derivando rispetto $x$ si ha, poichè ${\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}$:

${\frac {d^{y}}{d^{2}x}}=h{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}$.

Per integrare questa equazione si può seguire il metodo generale. Più brevemente si ponga ${\frac {dy}{dx}}={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}\left[{\text{ossia}}\,z=\log \left\{{\frac {dy}{dx}}+{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\right\}\right]$, dove $z$ è una nuova funzione incognita. L'equazione diverrà

${\frac {e^{x}+e^{-z}}{2}}{\frac {dz}{dx}}={\sqrt {\left({\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}\right)^{2}}}$ ossia ${\frac {dz}{dx}}=h$, donde $z=hx+k$

($k=$ cost.).

È dunque ${\frac {dy}{dx}}={\frac {e^{hx+k}+e^{-(hx+k)}}{2}}$; e infine, integrando:

$y={\frac {e^{hx+k}-e^{-(hk+k)}}{2h}}+l$,

dove $l$ è, come $k$, una costante arbitraria.

Con una traslazione degli assi si può fare $k=l=0$, e quindi $y={\frac {e^{hx}+e^{-hx}}{2\,h}}$. Con una similitudine (omotetia rispetto all'origine) la curva si trasforma nella $y={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\text{cos}}\,h\,x$.

Defin. Si dicono sottotangente e sottonormale in un punto $A$ di una curva $y=f(x)$ i segmenti compresi tra la proiezione di $A$ sull'asse delle $x$, e il punto di intersezione di questo asse con la tangente o la normale in $A$ alla curva considerata.

2° Trovare la sottotagente e la sottonormale per una curva $y=f(x)$ nel punto di ascissa (x).

Ris. L'equazione della tangente e della normale (indicando con $X,Y$ le coordinate correnti) è rispettivamente:

$[f(x)-Y]+f'(x)[X-x]=0$; $f'(x)[Y-f(x)]+[X-x]=0$.

Posto $Y=0$, se ne rispettivamente deduce per l'ascissa $X$ del punto di intersezione con l'asse delle $x$:

$X=x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}x-{\frac {y}{y'}}$; $X=x+f(x)f'(x)=x+yy'$,

donde:

3° Trovare le curve e sottotangente o sottonormale costante $k$.

Si ha $-{\frac {y}{y'}}=k\left({\text{ossia}}\,{\frac {y'}{y}}={\frac {-1}{k}}\right)$ o $yy'=k$.

Se ne deduce integrando

che sono rispettivamente una curva esponenziale, ed una parabola.

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Note

1. Basta ricordare il valore del quadrato di tale matrice dal al § 22, pag. 76, per riconoscere che questa sottrazione lo lascia invariato.
2. Si noti che se la curvatura è nulla, allora $x''=y''=z''=0<math>,equidni<math>x,y,z$ sono funzioni lineari della $s$. La linea è perciò una retta. Ciò che concorda con l'idea intuitiva di curvatura, da cui siamo partiti.
3. Infatti, dall'equazione stessa del piano osculatore, risulta che una retta $r$, i cui coseni di direzione sono proporzionali a $x'',y'',z''$, è parallela a tale piano. E, poichè dalla ${x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}=1$ si deduce derivando $x'\,x''+y'\,y''+z'\,z''=0$, la retta $r$ è perpendicolare alla tangente. Quindi $r$ è parallela alla normale principale. S'intende che questo risultato vale soltanto, se si assume l'arco $s$ come variabile indipendente.