Lezioni di analisi matematica/Capitolo 19/Paragrafo 122

by Guido Fubini

Capitolo 19 - Area di una superficie di rotazione

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 122. — Area di una superficie di rotazione.

Se noi poniamo

$x=\rho \,{\text{cos}}\,\theta$,   $y=\rho \,{\text{sen}}\,\theta$   (donde $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$)

l'equazione di una superficie si può scrivere nella forma

                                                  $z=f(\rho ,\theta )$                                                  (1)

Se essa è di rotazione attorno all'asse delle $z$, l'aumentare di $\theta$ di una costante $\alpha$ qualsiasi, cioè il far rotare di un angolo $\alpha$ la nostra superficie attorno all'asse delle $z$ trasforma la superficie in sè stessa, cioè non ne muta l'equazione 81); cosicchè, qualunque sia $\alpha$, sarà $f(\rho ,\theta )=f(\rho ,\theta +\alpha )$. Cioè $f(\rho ,\theta )$ non varia, qualunque incremento venga dato alla $\theta$, cioè comunque si cambi il valore della $\theta$. Essa p dunque indipendente dalla $\theta$; cioè è una funzione $\varphi (\rho )$ della sola $\rho$. E l'equazione della nostra superficie sarà del tipo:

                    $z=\varphi (\rho )$   cioè $x=\varphi (+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$                    (1)_bis

la sua intersezione col semipiano (si noti non col piano)

                                                  $y=0$     (dove $x$ è positivo).                    (2)

L'area della nostra superficie vale l'integrale

$\iint {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\,dx\,dy$.

QUesto integrale si deve naturalmente estendere alla proiezione della superficie sul piano $xy$; questa proiezione è la corona circolare ottenuta facendo rotare attorno all'origine e sul piano $xy$ la proiezione sull'asse delle $x$ della curva (2) [o del pezzo di curva (2) considerato].

ora

$p={\frac {\partial z}{\partial x}}=\varphi '(\rho ){\frac {\partial \rho }{\partial x}}=\varphi '(\rho ){\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\varphi '(\rho ){\text{cos}}\,\theta$

     $q={\frac {\partial z}{\partial y}}=$                                                  $=\varphi '(\rho ){\text{sen}}\,\theta$

$1+p^{2}+q^{2}=1+{\varphi '}^{2}(\rho )$.

Perciò l'area $A$ di $S$ è data da:

$A=\iint {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\,dx\,dy=\iint {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\,dx\,dy=$

$=\iint {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\,\rho \,d\,\rho \,d\,\theta =\int \,d\,\theta \,\int {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\,\rho \,d\,\rho =$

$=2\,\pi \,\int \,{\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\rho \,d\,\rho$,¹

che si può scrivere:

$A=2\pi \int {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(x)}}x\,dx=$

               $2\,\pi \int {\sqrt {1+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}}}\,xdx=2\,\pi \int xds$                              (3) dove con $ds={\sqrt {dx^{2}+dz^{2}}}$ indico ora il differenziale dell'arco della curva $C$, e l'integrale si deve estendere all'intervallo, in cui varia la $s$. quando si descrive $C$.

La (3) costituisce la formola fondamentale per il calcolo dell'area di una superficie di rotazione.

Essa si può rendere intuitiva, osservando che ogni pezzetto $ds$ della curva $C$ genera rotando un tronco di cono, le cui sezioni circolari sono cerchi di raggio $x$, e la cui area e quindi $2\,\pi \,xds$. Questa osservazione non ha però, così esposta, alcuna pretesa di rigore. Resa rigorosa, essa dimostra che l'area di una superficie di rotazione è il limite dell'area generata dalla rotazione di un poligono inscritto nel profilo meridiano, quando i lati di esso tendono a zero. Lo studioso deduca la (3) ammettendo questo teorema.

Esercizio.

Si calcoli l'area della sfera di raggio $R$.

Se la sfera ha per centro l'origine, essa è generata dalla rotazione attorno all'asse delle $z$ di un semicerchio $C$ di raggio $R$ posto nel solito semipiano $xz$. Se $\varphi$ è l'angolo che un raggio generico del semicerchio $C$ forma con l'asse delle $x$, e assumiamo come origine degli archi $s$ il punto in cui $C$ incontra l'asse delle $x$, si ha: $s=R\,\varphi$. D'altra parte $x=R\,{\text{cos}}\,\varphi$; e il semicerchio si descrive facendo variare $\varphi$ da $-{\frac {\pi }{2}}$ a $+{\frac {\pi }{2}}$.

L'area della sfera vale dunque

$2\,\pi \,\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\,(R\,{\text{cos}}\,\varphi )\,Rd\,\varphi =2\,\pi \,R^{2}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\,{\text{cos}}\,\varphi \,d\,\varphi =4\,\pi \,R^{2}$,

che coincide col valore dato dalla geometri elementare.

Teor. di Guldino La (1) si può interpretare con un teorema analogo a quello del § 106, pag. 346, osservando che, se $L$ è la lunghezza della curva rotante, $d$ la distanza dell'asse delle $z$ (cioè l'ascissa) del suo centro di gravità, allora $Ld=\int \,x\,ds$.

Se ne deduce: L'area di una superficie di rotazione vale $\mathrm {2\,\pi \,Ld}$, cioè vale il prodotto della lunghezza $\mathrm {L}$ di un profilo meridiano per la lunghezza $\mathrm {2\,\pi \,d}$ della circonferenza descritta nella rotazione del centro di gravità di tale profilo.

Esempio.

Centro di gravità di una semicirconferenza. Una semicirconferenza di raggio $R$ e lunghezza $\pi \,R$ descrive, rotando attorno al suo diametro, una sfera di area $4\,\pi \,R^{2}$. La distanz $d$ dal centro di gravità della semicirconferenza al diametro soddisfa perciò alla $4\,\pi \,R^{2}=\pi R.2\,\pi \,d$, e vale dunque $d={\frac {2\,R}{\pi }}$.

Note

1. Si noti che $\int {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\rho \,d\,\rho$ (i cui limiti sono i raggi della precedente circolare) è indipendente dalla $\theta$, e che l'integrazione rispetto a $\theta$ è fatta nell'intervallo $(0,2\pi )$.