Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Introduzione

Questo testo è completo.

Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane - Introduzione

Informazioni sulla fonte del testo

Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane - Del rapporto anarmonico

►

[p. 317 modifica]

29.

INTRODUZIONE
AD UNA TEORIA GEOMETRICA DELLE CURVE PIANE.¹

«Peut donc qui voudra, dans l’état actuel de la science, généraliser et créer en géométrie: le génie n’est plus indispensable pour ajouter une pierre à l’édifice»
(Chasles, Aperçu historique, p. 269).

Il desiderio di trovare, coi metodi della pura geometria, le dimostrazioni degli importantissimi teoremi enunciati dall’illustre Steiner nella sua breve Memoria “Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven„ (Crelle, t. 47), mi ha condotto ad intraprendere alcune ricerche delle quali offro qui un saggio benchè incompleto. Da poche proprietà di un sistema di punti in linea retta ho dedotto la teoria delle curve polari relative ad una data curva d’ordine qualsivoglia, la qual teoria mi si è affacciata così spontanea e feconda di conseguenze, che ho dovuto persuadermi, risiedere veramente in essa il metodo più naturale per lo studio delle linee piane. Il lettore intelligente giudicherà se io mi sia apposto al vero.

La parte che ora pubblico delle mie ricerche, è divisa in tre Sezioni. La prima delle quali non presenta per sè molta novità, ma ho creduto che, oltre alle dottrine fondamentali costituenti in sostanza il metodo di cui mi servo in seguito, fosse opportuno raccogliervi le più essenziali proprietà relative all’intersezione ed alla descrizione delle curve, affinchè il giovane lettore trovasse qui tutto ciò che è necessario alla intelligenza del mio lavoro.

La teoria delle curve polari costituisce la seconda Sezione, nella quale svolgo e dimostro con metodo geometrico, semplice ed uniforme, non solo i teoremi di Steiner, ch’egli aveva enunciati senza prove, ma moltissimi altri ancora, in parte nuovi ed in parte già ottenuti dai celebri geometri Plücker, Cayley, Hesse, Clebsch, Salmon,... col soccorso dell’analisi algebrica. [p. 318 modifica]

Da ultimo applico la teoria generale alle curve del terz’ordine.

Oltre alle opere de’ geometri ora citati, mi hanno assai giovato quelle di Maclaurin, Carnot, Poncelet, Chasles, Bobillier, Möbius, Jonquières, Bischoff ecc., allo studio delle quali è da attribuirsi quanto v’ha di buono nel mio lavoro. Io sarò lietissimo se questo potrà contribuire a diffondere in Italia l’amore per le speculazioni di geometria razionale.

Note

↑ [p. 495 modifica]Questa Memoria, secondo l’indicazione che è a pag. 314, fu presentata all’Accademia di Bologna nella sessione ordinaria del 19 dicembre 1861. Giova riferire testualmente la relazione di detta sessione (Rendiconto della citata Accademia, Anno 1861-62, pp. 30-31): «Il Ch. Prof. L. Cremona legge un sunto d’una sua Memoria sulla Teoria generale delle curve piane. «Il tomo 47.º del giornale matematico di Crelle (Berlino 1853) contiene fra l’altre una Memoria di sei pagine del celebre Steiner, intitolata: Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven, nella quale sono enunciati senza dimostrazione molti importanti teoremi relativi alle curve algebriche. Recentemente una parte di questi teoremi fu dimostrata dal sig. Clebsch di Carlsruhe, che, a tal uopo, si è servito dell’analisi più elevata e della nuovissima dottrina de’ covarianti. [p. 496 modifica]«Il prof. Cremona, persuaso che le scoperte dello Steiner sono dovute a metodi puramente geometrici, ha desiderato di trovare le dimostrazioni taciute dall’illustre autore. Mirando a tale scopo, gli venne fatto di formare un’estesa teoria geometrica delle curve piane, la quale comprende in sè i risultati pubblicati dai Signori Steiner, Hesse, Clebsch, ecc. ed altri affatto nuovi. Tale teoria riducesi in sostanza ad un ampio sviluppo della teorica delle polari, che l’autore fonda sulle proprietà armoniche di un sistema di punti in linea retta, e sul principio di corrispondenza anarmonica; ed è svolta con metodo semplice ed uniforme. Essa conduce alle più interessanti e generali proprietà delle curve, che, altrimenti trattate, richiederebbero i più sottili e perfetti artifizj dell’analisi algebrica; ed applicata alle curve del 3.° e 4.° ordine somministra in modo affatto spontaneo i teoremi già ottenuti da Cayley, Hesse, ecc.». La Memoria è stata tradotta in tedesco da M. Curtze nel volume intitolato: Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Curven (v. queste Opere, n. 61), volume che in seguito si citerà brevemente con Einleitung. La traduzione è letterale, fatta astrazione da alcune aggiunte o correzioni, delle quali si terrà conto, o nel testo, o in queste note, con apposite avvertenze: rinviando solo le aggiunte più lunghe al detto n. 61. — La numerazione dei vari articoli, o numeri, è la stessa nella Einleitung come nell’originale. In questa ristampa abbiam profittato di un esemplare dell’Introduzione [esemplare che citeremo con (A)], sul quale il Cremona aveva scritto a mano parecchie addizioni o varianti. Le aggiunte, che così si sono introdotte, quando non sia detto espressamente, si riconoscono (come già fu avvertito nella Prefazione) dall’essere racchiuse fra { }. Nell’ultima pagina della Memoria originale, dopo un’«errata-corrige» (di cui il Cremona dice che è dovuto alla cortesia del suo egregio amico E. Beltrami, stavano pure due brevi aggiunte. La 1.ª di queste è la citazione del Battaglini in nota al n. 7. La 2.ª sarà qui messa in nota al n. 49, ed è data dall’Autore come relativa a quel numero e al n. 21.

[1] [p. 495 modifica]Questa Memoria, secondo l’indicazione che è a pag. 314, fu presentata all’Accademia di Bologna nella sessione ordinaria del 19 dicembre 1861. Giova riferire testualmente la relazione di detta sessione (Rendiconto della citata Accademia, Anno 1861-62, pp. 30-31): «Il Ch. Prof. L. Cremona legge un sunto d’una sua Memoria sulla Teoria generale delle curve piane. «Il tomo 47.º del giornale matematico di Crelle (Berlino 1853) contiene fra l’altre una Memoria di sei pagine del celebre Steiner, intitolata: Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven, nella quale sono enunciati senza dimostrazione molti importanti teoremi relativi alle curve algebriche. Recentemente una parte di questi teoremi fu dimostrata dal sig. Clebsch di Carlsruhe, che, a tal uopo, si è servito dell’analisi più elevata e della nuovissima dottrina de’ covarianti. [p. 496 modifica]«Il prof. Cremona, persuaso che le scoperte dello Steiner sono dovute a metodi puramente geometrici, ha desiderato di trovare le dimostrazioni taciute dall’illustre autore. Mirando a tale scopo, gli venne fatto di formare un’estesa teoria geometrica delle curve piane, la quale comprende in sè i risultati pubblicati dai Signori Steiner, Hesse, Clebsch, ecc. ed altri affatto nuovi. Tale teoria riducesi in sostanza ad un ampio sviluppo della teorica delle polari, che l’autore fonda sulle proprietà armoniche di un sistema di punti in linea retta, e sul principio di corrispondenza anarmonica; ed è svolta con metodo semplice ed uniforme. Essa conduce alle più interessanti e generali proprietà delle curve, che, altrimenti trattate, richiederebbero i più sottili e perfetti artifizj dell’analisi algebrica; ed applicata alle curve del 3.° e 4.° ordine somministra in modo affatto spontaneo i teoremi già ottenuti da Cayley, Hesse, ecc.». La Memoria è stata tradotta in tedesco da M. Curtze nel volume intitolato: Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Curven (v. queste Opere, n. 61), volume che in seguito si citerà brevemente con Einleitung. La traduzione è letterale, fatta astrazione da alcune aggiunte o correzioni, delle quali si terrà conto, o nel testo, o in queste note, con apposite avvertenze: rinviando solo le aggiunte più lunghe al detto n. 61. — La numerazione dei vari articoli, o numeri, è la stessa nella Einleitung come nell’originale. In questa ristampa abbiam profittato di un esemplare dell’Introduzione [esemplare che citeremo con (A)], sul quale il Cremona aveva scritto a mano parecchie addizioni o varianti. Le aggiunte, che così si sono introdotte, quando non sia detto espressamente, si riconoscono (come già fu avvertito nella Prefazione) dall’essere racchiuse fra { }. Nell’ultima pagina della Memoria originale, dopo un’«errata-corrige» (di cui il Cremona dice che è dovuto alla cortesia del suo egregio amico E. Beltrami, stavano pure due brevi aggiunte. La 1.ª di queste è la citazione del Battaglini in nota al n. 7. La 2.ª sarà qui messa in nota al n. 49, ed è data dall’Autore come relativa a quel numero e al n. 21.

1