Di alcuni teoremi fondamentali per la teoria matematica dell'imposta

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Enrico Barone

1894

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1. Chi si è occupato di indagini quantitative sull'imposta, partendo dalla teoria del grado finale di utilità, sa che uno dei problemi che per primi si incontrano, è questo, che procureremo di enunciare nei suoi termini più semplici e di risolvere, col soccorso della matematica, presentandone la soluzione nel modo più piano che ci sarà possibile.

Primus - che la teoria suppone perfetto edonista - produca un certo bene, il quale abbia per lui (Fig. 1) una curva AB di utilità, una curva CD di costo¹.

Se Primus è libero di godersi tutta la quantità che produce, la sua produzione, determinata dalla condizione che sia massima la differenza fra l'utilità della quantità prodotta e il costo di essa, è data dal valore di $x$ che rende massimo $U(x)-C(x)$ , cioè dal valore di $x$ pel quale $u(x)=c(x)$ , cioè, ancora, dalla $x$ del punto d'intersezione I; il che vuol dire che Primus spinge la produzione fino a quel punto in cui il grado finale di utilità della quantità prodotta sia eguale al grado finale di costo.

Ma intervenga ora la coercizione di un'autorità, la quale imponga a Primus che questi del suo prodotto debba cedere una parte a titolo d'imposta: tale parte o sia indipendente dalla quantità $x$ prodotta (sia $a$ per esempio) o sia una quota proporzionale di $x$ (per esempio $tx$ , in cui $t<1$ ². E sia, per ipotesi, Primus nella impossibilità di scaricare sopra un altro questo obbligo, il che equivale a supporre che la traslazione del tributo sia già compiuta. Il problema che si tratta di risolvere è questo: per effetto di tale contribuzione, Primus produrrà quanto prima, ovvero più, ovvero meno?

La risposta è data dai seguenti teoremi, i quali per gli ulteriori sviluppi di cui sono suscettibili, ci paiono non privi di qualche fecondità.

2. Facciamo prima il caso che la contribuzione $a$ sia indipendente dalla quantità prodotta, sia cioè una capitazione, come sul dirsi.

La produzione di Primus sarà ora determinata dalla condizione che sia un massimo non più la differenza $U(x)-C(x)$ , ma l'altra $U(x-a)-C(x)$ : il valore di $x$ che soddisfa a questa condizione è quello per il quale $u(x-a)=c(x)$ . Quindi:

Teorema I. - Nel caso di una contribuzione indipendente dalla quantità prodotta, Primus regolerà la sua produzione in modo che il grado finale di costo di tutta la quantità prodotta sia eguale al grado finale di utilità di tutta la parte godibile.

Evidentemente, il nuovo punto a cui ora si arresterà la produzione sarà l'intersezione I' (Fig. 2.ª) della curva di costo con la A'B', avente per equazione $x=u(x-a)$ , le cui ascisse superano tutte di una quantità $y$ quelle della AB, corrispondenti a pari ordinate. Dunque:

Teorema II. - Nel caso di una contribuzione indipendente dalla quantità prodotta, Primus accrescerà la sua produzione, e restringerà il suo consumo; e tanto più estenderà la sua produzione, con corrispondente restringimento del consumo, quanto maggiore sarà la contribuzione.

Dei due teoremi ora enunciati si può fare una verificazione geometrica. Infatti è facile vedere:

che a Primus non conviene produrre più di OP', perchè così facendo, si assoggetterebbe ad un incremento di costo maggiore dell'incremento di utilità che glie ne verrebbe per l'aumento della quantità godibile;
che a Primus non conviene produrre di meno di OP', perchè la perdita di utilità che ne deriverebbe dal restringimento della quantità godibile, sarebbe maggiore del risparmio di costo che avrebbe per la diminuita produzione;
che quanto maggiore è $a$ , cioè I'K, tanto più sale il punto I'.

3. Passiamo ora la caso più complesso che la contribuzione sia $tx$ , cioè una quota percentuale della quantità prodotta $x$ , essendo naturalmente $t<1$ .

In questo caso la produzione $x$ di Primus sarà determinata dalla condizione che sia un massimo la differenza $U(x-tx)-C(x)$ ; il valore di $x$ che soddisfa questa condizione, è dato dall'equazione

$(1-t)u(x-tx)=c(x)$

quindi:

Teorema III. - Nel caso di una contribuzione proporzionale alla quantità prodotta, Primus regolerà la sua produzione in modo che il grado finale di costo di tutta la quantità prodotta sia eguale al grado finale di utilità, ridotto al netto, di tutta la quantità godibile.

4. Del teorema III si può dare una illustrazione geometrica diretta, nel modo seguente.

Sia (Fig. 3.ª) OP la quantità prodotta, OQ la quantità godibile, tali che il grado finale di costo PM dell'una sia eguale al grado finale di utilità, ridotto al netto, RQ dell'altra. Sarà PQ = t. OP, NR = t. NQ.

È facile convincersi che a Primus non conviene di produrre nè più di OP, nè meno di OP.

Infatti, se Primus produce ancora una piccola quantità PS, con un aumento di costo rappresentato dalla superficie tratteggiata, l'aumento della quantità godibile non sarà QT = PS ma QT $(1-t)$ , perchè la nuova quantità prodotta sarà gravata dalla solita contribuzione per unità $t$ . Ora il rettangoletto tratteggiato, che rappresenta l'incremento di utilità proveniente dall'aumento della quantità godibile, è equivalente al rettangoletto RVTQ; ma questo è minore dell'aumento di costo: dunque non conviene a Primus di spingere la produzione al di là di OP. Analogamente si dimostrerebbe che a Primus non conviene di arrestarsi nella produzione prima di OP.

5. La quantità prodotta è, in questo caso, determinata dalla intersezione della curva di costo non più con la curva di utilità, avente per equazione $y=u(x)$ , ma con la curva $y=(1-t)u(x-tx)$ ; curva che si potrebbe facilmente ricavare per punti da quella di utilità e che, come la $u(x)$ , è decrescente anch'essa, cioè tale che col crescere delle ascisse le sue ordinate diminuiscono³. Ma non è necessario costrurre tutta la curva trasformata le cui ordinate sono $(1-t)u(x-tx)$ , per rispondere al quesito se, per effetto della contribuzione unitaria $t$ , la produzione di Primus aumenti o diminisca: basta soltanto indagare se e quando il punto della trasformata corrispondente all'intersezione I (Fig. 4) della curva di utilità e della curva di costo è più alto o più basso del punto I; poichè se più alto, Primus aumenterà la sua produzione, se più basso Primus la restringerà.

Il punto T della trasformata, corrispondente al punto I si ottiene con la seguente costruzione: prendasi PQ = $t$ . OP e determinato R, facciasi RS = $t$ . RQ e si tiri la parallela ST.

Si indichi con la lettera $e$ il rapporto ${\tfrac {PQ}{OP}}$ $:$ ${\tfrac {RV}{IP}}$ , quantità che designeremo col nome di elasiticità della curva di utilità nel punto I, seguendo una denominazione già adoperata dal Marshall nello studio della curva di domanda. La quantità così definita è, evidentemente, quella per la quale bisogna moltiplicare l'incremento percentuale del grado finale di utilità per avere l'incremento percentuale della quantità del bene⁴.

Per la costruzione fatta si ha

$TP=(1-t)RQ=(1-t)(RV+IP)$ ;

ma, essendo $e=$ ${\tfrac {PQ}{OP}}$ $:$ ${\tfrac {RV}{IP}}$ $=t$ $:$ ${\tfrac {RV}{IP}}$ , sarà $RV=$ ${\tfrac {t}{e}}$ $IP$ e quindi

$TP=$ ${\tfrac {(1-T)(e+t)}{e}}$ $IP$ .

Ora è facile vedere che in questa formola il coefficiente ${\tfrac {(1-t)(e+t)}{e}}$ è maggiore o minore di 1, secondo che $1-t$ è maggiore o minore di $e$ , elasticità della curva di utilità nel punto I⁵. Dunque:

Teorema IV. - Nel caso di una contribuzione proporzionale alla quantità prodotta, Primus accrescerà o diminuirà la produzione, secondo che la quota godibile per unità, $1-t$ , sarà maggiore o minore della elasticità della curva di utilità del punto I d'intersezione fra questa e la curva di costo.

6. Da questo teorema se ne possono dedurre molti altri, secondo le supposizioni variamente combinate che si possono fare sull'andamento delle curve di utilità e di costo. Ci limitiamo qui a presentarne, come esempio, uno soltanto relativo all'ipotesi che la curva di utilità volga la sua concavità verso l'asse delle x. Teoremi analoghi possono ricavarsi per l'ipotesi che la curva ora detta volga, invece, la sua convessità all'asse delle x, ovvero sia in parte concava e in parte convessa, presentando dei punti d'inflessione.

Notiamo anzi tutto, che comunque sia la curva, convessa o concava, o con punti d'inflessione l'elasticità in un punto qualsiasi è uguale al rapporto fra la sottotangente e l'ascissa.

Infatti (Fig. 5) se M ed N sono abbastanza vicini da poter considerare la MN come la tangente in M, si ha

${\tfrac {NR}{RM}}=$ ${\tfrac {MP}{PT}}$ , quindi $PT=$ ${\tfrac {RM.MP}{NR}}$ e perciò

${\tfrac {PT}{OP}}=$ ${\tfrac {RM.MP}{OP.NR}}=$ ${\tfrac {RM}{OP}}$ $:$ ${\tfrac {NR}{MP}}$ .

7. Ciò posto, sia una curva AB, con la concavità verso l'asse delle x. (Fig. 6). Si dimostra facilmente che l'elasticità è infinitamente grande in A, è zero in B e da A a B va continuamente decrescendo.

Infatti più il punto M è lontano da A, più piccola è la sottotangente PT (perchè nel triangolo MPT diventa sempre più piccolo il cateto MP ed anche l'angolo in M) e più grande è l'ascissa OP: quindi a fortiori più piccola è l'elasticità.

Vi è un punto C in cui la sottotangente è uguale alla ascissa, e in cui, per conseguenza, l'elasticità della curva è 1. Questo punto C lo diremo punto del Cournot, per brevità, e in omaggio ad uno dei più illustri nomi di cui si onori la nostra scienza⁶.

8. Se la curva di costo incontra quella di utilità a sinistra del punto di Cournot, come in I nella fig. 6, l'elasticità in I sarà sempre maggiore di 1 e quindi la quota godibile per unità $1-t$ sarà minore dell'elasticità della curva in I, e perciò, pel teorema IV, la produzione di Primus si restringerà se le sarà imposta una contribuzione proporzionale alla quantità prodotta; e tanto più si restringerà quanto più sarà forte la contribuzione.

Se invece la curva di costo taglia la curva di utilità a destra del punto di Cournot, come nel punto I' della figura 6, il fatto avviene diversamente. Nel punto I' l'elasticità è minore di 1: sia $1-h$ . Se la contribuzione per unità del prodotto è nulla, se cioè $t=0$ , la produzione di Primus è OP': se la contribuzione è molto piccola, in guisa che la quota godibile per unità sia maggiore della elasticità della curva in I', la contribuzione farà crescere la produzione. Ma se la contribuzione per unità è maggiore di $h$ , allora la quota godibile per unità diventa minore della elasticità della curva in I' e quindi la produzione si restringe. Donde il seguente

Teorema V. - Nel caso di una contribuzione proporzionale alla quantità prodotta, se la curva di costo è a sinistra del punto di Cournot, la contribuzione fa diminuire la produzione di Primus; e tanto più la fa diminuire quanto più essa contribuzione è forte. Se la curva di costo è a destra del punto di Cournot, la contribuzione fa crescere la produzione, fino a che però la quota godibile per unità ha nell'intersezione con la curva di costo; e fa diminuire la produzione, se la quota godibile per unità diventa minore dell'elasticità ora detta.

Note

↑ Non è superfluo qualche schiarimento su tali curve per chi non sia provetto nelle applicazioni matematiche della teoria del grado finale di utilità. La curva AB di utilità è così definita: ogni ordinata di essa rappresenta il grado finale di utilità di una dose del bene che si considera eguale alla corrispondente ascissa. L'area compresa fra i due assi, l'ordinata e la curva è l'utilità totale di questa medesima dose del bene. Ad esempio: MH è il grado finale di utilità della quantità OH del bene, mentre l'utilità totale di questa medesima quantità del bene è la superficie tratteggiata AMHO. La curva CD di costo, o di penosità, è analogamente così definita: ogni ordinata di essa rappresenta il grado finale di costo di una dose del bene che si considera eguale alla corrispondente ascissa. L'area compresa fra i due assi, l'ordinata e la curva è il costo totale di questa medisima dose del bene. Ad esempio: mH è il grado finale di costo della quantità OH del bene, mentre il costo totale di questa medesima quantità del bene è la superficie tratteggiata CmHO. Se le ordinate delle curve AB e CD si rappresentano rispettivamente con le funzioni $U(x)$ e $C(x)$ e le superficie tratteggiate rispettivamente con le funzioni $U(x)$ e $C(x)$ , evidentemente $U(x)$ e $C(x)$ saranno le derivate delle funzioni $U(x)$ e $C(x)$ , perchè rappresentano il limite a cui tende il rapporto fra l'incremento dell'utilità (o del costo) e l'incremento della quantità consumata (o prodotto), quando quest'ultimo incremento tende a zero. Della qual cosa è anche facile convincersi, pensando che se l'incremento della quantità consumata (o prodotta) è piccolissimo, l'area che indica il corrispondente incremento di utitlità (o di costo) può considerarsi come un rettangoletto, nel quale l'altezza (ordinata) è appunto il rapporto fra l'area e la base.
↑ Sono meritevoli di esame anche altri casi più complessi d'imposta. Il metodo per la trattazione del problema sarebbe sempre quello qui tracciato. Ne daremo qualche altro saggio in prossimi articoli.
↑ Che col crescere di $x$ , essendo $u(x)$ decrescente, debba anche essere decrescente la quantità $(1-t)u(x-tx)$ , si può dimostrare in modo assai semplice, senza dover ricorrere a differenziazioni. Si immagini prima dalla curva $y=u(x)$ ricavata l'altra $Y=u(x-tx)$ . Queste due curve saranno tali che a pari ordinata, l'ascissa della seconda sarà sempre maggiore di quella della prima; e la differenza fra le due ascisse corrispondenti a pari ordinata sarà tanto più grande quanto minore sarà quest'ordinata. Quindi $u(x-tx)$ è decrescente col crescere di $x$ ; e, per conseguenza, anche $(1-t)u(x-tx)$ .
↑ È noto che nelle indagini del Marshall sulla curva di domanda, l'elasticità rappresenta la quantità per la quale bisogna moltiplicare la variazione percentuale del prezzo per ottenere la corrispondente variazione percentuale del consumo.
↑ Per passare da $1-t>e$ ad $(1-t)(e+t)>e$ , bisogna moltiplicare ambo i membri della disuguaglianza per $t$ , aggiungere $e$ ad ambo i membri, passare tutti i termini del secondo, tranne $e$ , al primo membro e porre, nel primo membro medesimo, $1-t$ in evidenza come fattor comune.
↑ Nel punto C di elasticità $t$ il prodotto $xu(x)$ dell'ascissa per l'ordinata è un massimo, perchè in esso si ha $u(x)+xu'(x)=0$ . Se la AB fosse una curva di domanda, il punto C sarebbe quello appunto che frequentemente si incontra nella teoria matematica del monopolio, splendidamente trattata dal Cournot: le cui ricerche (sia detto in parentesi) insieme con quelle del Gossen, del Jevons, del Walras, dell'Edgeworth, del Launhardt, dell'Auspitz, del Marshall, del Fisher e del Pareto, han fatto progredire la scienza assai più di tutti quei numerosi scritti, coi quali si ha la pretesa di trattare ad orecchio quistioni che sono essenzialmente quantitative.

[1] Non è superfluo qualche schiarimento su tali curve per chi non sia provetto nelle applicazioni matematiche della teoria del grado finale di utilità. La curva AB di utilità è così definita: ogni ordinata di essa rappresenta il grado finale di utilità di una dose del bene che si considera eguale alla corrispondente ascissa. L'area compresa fra i due assi, l'ordinata e la curva è l'utilità totale di questa medesima dose del bene. Ad esempio: MH è il grado finale di utilità della quantità OH del bene, mentre l'utilità totale di questa medesima quantità del bene è la superficie tratteggiata AMHO. La curva CD di costo, o di penosità, è analogamente così definita: ogni ordinata di essa rappresenta il grado finale di costo di una dose del bene che si considera eguale alla corrispondente ascissa. L'area compresa fra i due assi, l'ordinata e la curva è il costo totale di questa medisima dose del bene. Ad esempio: mH è il grado finale di costo della quantità OH del bene, mentre il costo totale di questa medesima quantità del bene è la superficie tratteggiata CmHO. Se le ordinate delle curve AB e CD si rappresentano rispettivamente con le funzioni $U(x)$ e $C(x)$ e le superficie tratteggiate rispettivamente con le funzioni $U(x)$ e $C(x)$ , evidentemente $U(x)$ e $C(x)$ saranno le derivate delle funzioni $U(x)$ e $C(x)$ , perchè rappresentano il limite a cui tende il rapporto fra l'incremento dell'utilità (o del costo) e l'incremento della quantità consumata (o prodotto), quando quest'ultimo incremento tende a zero. Della qual cosa è anche facile convincersi, pensando che se l'incremento della quantità consumata (o prodotta) è piccolissimo, l'area che indica il corrispondente incremento di utitlità (o di costo) può considerarsi come un rettangoletto, nel quale l'altezza (ordinata) è appunto il rapporto fra l'area e la base.

[2] Sono meritevoli di esame anche altri casi più complessi d'imposta. Il metodo per la trattazione del problema sarebbe sempre quello qui tracciato. Ne daremo qualche altro saggio in prossimi articoli.

[3] Che col crescere di $x$ , essendo $u(x)$ decrescente, debba anche essere decrescente la quantità $(1-t)u(x-tx)$ , si può dimostrare in modo assai semplice, senza dover ricorrere a differenziazioni. Si immagini prima dalla curva $y=u(x)$ ricavata l'altra $Y=u(x-tx)$ . Queste due curve saranno tali che a pari ordinata, l'ascissa della seconda sarà sempre maggiore di quella della prima; e la differenza fra le due ascisse corrispondenti a pari ordinata sarà tanto più grande quanto minore sarà quest'ordinata. Quindi $u(x-tx)$ è decrescente col crescere di $x$ ; e, per conseguenza, anche $(1-t)u(x-tx)$ .

[4] È noto che nelle indagini del Marshall sulla curva di domanda, l'elasticità rappresenta la quantità per la quale bisogna moltiplicare la variazione percentuale del prezzo per ottenere la corrispondente variazione percentuale del consumo.

[5] Per passare da $1-t>e$ ad $(1-t)(e+t)>e$ , bisogna moltiplicare ambo i membri della disuguaglianza per $t$ , aggiungere $e$ ad ambo i membri, passare tutti i termini del secondo, tranne $e$ , al primo membro e porre, nel primo membro medesimo, $1-t$ in evidenza come fattor comune.

[6] Nel punto C di elasticità $t$ il prodotto $xu(x)$ dell'ascissa per l'ordinata è un massimo, perchè in esso si ha $u(x)+xu'(x)=0$ . Se la AB fosse una curva di domanda, il punto C sarebbe quello appunto che frequentemente si incontra nella teoria matematica del monopolio, splendidamente trattata dal Cournot: le cui ricerche (sia detto in parentesi) insieme con quelle del Gossen, del Jevons, del Walras, dell'Edgeworth, del Launhardt, dell'Auspitz, del Marshall, del Fisher e del Pareto, han fatto progredire la scienza assai più di tutti quei numerosi scritti, coi quali si ha la pretesa di trattare ad orecchio quistioni che sono essenzialmente quantitative.

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