Teoria degli errori e fondamenti di statistica/7.1
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7.1 Variabili casuali bidimensionali
Nel caso multidimensionale più semplice, , se supponiamo che la probabilità dP per la coppia di variabili casuali x ed y di trovarsi nell’intorno (infinitesimo) di una certo punto dello spazio bidimensionale sia proporzionale all’ampiezza dell’intorno stesso e dipenda dalla sua posizione, possiamo definire la densità di probabilità (o funzione di frequenza) congiunta, , attraverso la
;
e, analogamente a quanto fatto nel caso unidimensionale, definire poi attraverso di essa altre funzioni. Ad esempio la funzione di distribuzione congiunta,
che dà la probabilità di ottenere valori delle due variabili non superiori a quantità prefissate; le funzioni di frequenza marginali
e |
che rappresentano la densità di probabilità di ottenere un dato valore per una delle due variabili qualunque sia il valore assunto dall’altra; ed infine le funzioni di distribuzione marginali
e |
La condizione di normalizzazione si potrà poi scrivere
.
Per un insieme di due variabili si possono poi definire le funzioni di frequenza condizionate, e ; esse rappresentano la densità di probabilità dei valori di una variabile quando già si conosce il valore dell’altra. Per definizione deve valere la
per cui tra probabilità condizionate, marginali e congiunte valgono la
e la |
Due variabili casuali sono, come sappiamo, statisticamente indipendenti tra loro quando il fatto che una di esse abbia un determinato valore non altera le probabilità relative ai valori dell’altra: ovvero quando
e | ; | (7.1) |
e questo a sua volta implica che
(7.2) |
Non è difficile poi, assunta vera la (7.2), giungere alla (7.1); in definitiva:
- Due variabili casuali continue sono statisticamente indipendenti tra loro se e solo se la densità di probabilità congiunta è fattorizzabile nel prodotto delle funzioni marginali.