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72 Capitolo 6 - Variabili casuali unidimensionali continue

che risulta, indicando con la densità di probabilità di x:

(6.4)

(per una variabile continua, oppure


per una variabile discreta); e, ricordando sia lo sviluppo in serie di McLaurin della funzione esponenziale

che la definizione dei momenti rispetto all’origine, se questi esistono tutti fino a qualsiasi ordine risulta anche

da cui

e, in definitiva, derivando successivamente la funzione generatrice si possono ricavare tutti i momenti della funzione di frequenza da cui essa discende. Se interessa invece uno dei momenti non rispetto all’origine, ma rispetto al valore medio , basta considerare l’altra funzione

(6.5)

e si trova facilmente che risulta

.

La speranza matematica della funzione si chiama invece funzione caratteristica della variabile casuale x, e si indica con :

(6.6)