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Capitolo 5 - Variabili casuali unidimensionali discrete |
Indicando con
il valore vero di
, e con
la media aritmetica del campione
-esimo, vale la
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.
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Ora sommiamo su
tutte le
uguaglianze che si hanno per i valori dellʼindice
e dividiamo per
; se indichiamo con
la varianza del campione
-esimo, data da
otteniamo alla fine
.
Lʼultima sommatoria a destra è la somma algebrica degli scarti delle misure del campione
-esimo dalla loro media aritmetica
che sappiamo essere identicamente nulla. Dunque, per ogni
vale la
e se sommiamo membro a membro tutte le
uguaglianze che abbiamo per
e dividiamo per
, risulta
.
Ora supponiamo di avere a disposizione moltissimi campioni e
passiamo al limite per
. Il primo membro (che rappresenta il valore medio, su tutti i dati e tutti gli infiniti campioni, del quadrato degli scarti dal valore vero) converge stocasticamente alla varianza della variabile casuale
; il secondo termine a destra (valore medio, su tutti gli infiniti campioni, del quadrato degli scarti della media aritmetica del campione dal proprio valore vero) converge alla varianza delle medie dei campioni di
misure
.