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62 Capitolo 5 - Variabili casuali unidimensionali discrete


Indicando con il valore vero di , e con la media aritmetica del campione -esimo, vale la

.

Ora sommiamo su tutte le uguaglianze che si hanno per i valori dellʼindice e dividiamo per ; se indichiamo con la varianza del campione -esimo, data da


otteniamo alla fine

.

Lʼultima sommatoria a destra è la somma algebrica degli scarti delle misure del campione -esimo dalla loro media aritmetica che sappiamo essere identicamente nulla. Dunque, per ogni vale la


e se sommiamo membro a membro tutte le uguaglianze che abbiamo per e dividiamo per , risulta

.

Ora supponiamo di avere a disposizione moltissimi campioni e passiamo al limite per . Il primo membro (che rappresenta il valore medio, su tutti i dati e tutti gli infiniti campioni, del quadrato degli scarti dal valore vero) converge stocasticamente alla varianza della variabile casuale ; il secondo termine a destra (valore medio, su tutti gli infiniti campioni, del quadrato degli scarti della media aritmetica del campione dal proprio valore vero) converge alla varianza delle medie dei campioni di misure .