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52 Capitolo 5 - Variabili casuali unidimensionali discrete

sticamente indipendenti. Usando gli stessi simboli già introdotti nel paragrafo 5.3, e dette ed due variabili casuali che godano di tale proprietà, sappiamo dall’equazione (3.4) che la probabilità che contemporaneamente risulti sia che è data dal prodotto delle probabilità rispettive e .

Per semplificare i calcoli, dimostriamo questo teorema dapprima nel caso particolare di due popolazioni e che abbiano speranza matematica nulla; estenderemo poi il risultato a due variabili (sempre statisticamente indipendenti) aventi speranza matematica qualunque. Ciò premesso, la combinazione lineare

ha anch’essa speranza matematica zero: infatti applicando l’equazione (5.2) risulta

e si può allora ricavare (indicando con i simboli , e le varianze di , e rispettivamente):

ed infine

(5.4)

Allo scopo di estendere la validità dell’equazione (5.4) appena dimostrata a due variabili casuali e aventi speranza matematica anche differente da zero, dimostriamo ora il seguente

Teorema: due variabili casuali che differiscano per un fattore costante hanno la stessa varianza.