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284 Appendice E - La funzione di verosimiglianza


Una importante proprietà della stima è la sua varianza, data (se essa è imparziale) da

perché la minima varianza sarà il nostro criterio di scelta fra diverse stime di .

Il teorema che segue (teorema di Cramér-Rao) mostra che esiste un limite inferiore per la varianza di una stima. Osserviamo per prima cosa che la densità di probabilità per la -pla risulta

per il teorema della probabilità composta; se in luogo del valore vero si pone il parametro variabile , si ottiene la funzione di verosimiglianza

.

La condizione di normalizzazione di ciascuna comporta che l’integrale della verosimiglianza su tutti i domini delle variabili valga 1:

indipendentemente dal valore di . Derivando sotto il segno di integrale rispetto a , dato che i domini delle non dipendono da detta variabile si ottiene