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262 Appendice C - Covarianza e correlazione


C.4 Applicazioni all'interpolazione lineare

Riprendiamo adesso il problema dell'interpolazione lineare, già discusso nel capitolo 11: si sia cioè compiuto un numero di misure indipendenti di coppie di valori di due grandezze fisiche e , tra le quali si ipotizza che esista una relazione funzionale di tipo lineare data da . Supponiamo inoltre che siano valide le ipotesi esposte nel paragrafo 11.4.1; in particolare che le siano prive di errore, e che le siano affette da errori normali e tutti uguali tra loro.

C.4.1 Riscrittura delle equazioni dei minimi quadrati

Sebbene i valori della siano scelti dallo sperimentatore e privi di errore, e non siano pertanto variabili casuali in senso stretto; e sebbene la variabilità delle sia dovuta non solo agli errori casuali di misura ma anche alla variazione della , introduciamo ugualmente (in maniera puramente formale) le medie e le varianze degli valori e , date dalle espressioni

e

(e simili per la ); e la covarianza di e , data dalla

.


Queste grandezze permettono di riscrivere le equazioni (11.9) risolutive del problema dell'interpolazione lineare per un insieme di dati, che abbiamo già incontrato a pagina 181, nella forma

La prima equazione intanto implica che la retta interpolante deve passare per il punto le cui coordinate sono le medie dei valori misurati delle due variabili in gioco; poi, ricavando da essa e sostituendo nella seconda equazione, dopo aver semplificato alcuni termini si ottiene la soluzione per l'altra incognita:

(C.6)

e la retta interpolante ha quindi equazione